Ist das Universumsproblem für Ein-Zähler-Automaten mit eingeschränkter Alphabetgröße unentscheidbar?

Betrachten Sie das folgende Universumsproblem .

Das Universumsproblem. Entscheiden Sie bei einer endlichen Menge für eine Sprachklasse und einem Automaten, der die Sprache akzeptiert , ob .$\Sigma$$L$$L=\Sigma^*$

In [1] wird angegeben und bewiesen, dass das Universumsproblem für eine bestimmte Klasse von Ein-Zähler-Automaten unentscheidbar ist. Dieses Ergebnis folgt dann für die Klasse aller nicht deterministischen Einzählerautomaten. Ich frage mich, ob bekannt ist, ob dieses Problem immer noch unentscheidbar ist, wenn wir die Größe des Eingabealphabets des Automaten einschränken.

Ich denke, dass mit Alphabet Größe 1 das Problem entscheidbar wird, aber was ist mit Größe 2? Und wenn sich herausstellt, dass dies entscheidbar ist, was ist der kleinste Wert von so dass das Problem unentscheidbar ist.$n \in \mathbb{N}$

Ich denke, es ist wahrscheinlich, dass die Antwort auf diese Frage bekannt ist, aber ich habe Probleme, eine Antwort zu finden. Wenn es bereits bekannt ist, würde ich mich über eine Referenz freuen.

[1] Ibarra, OH (1979). Eingeschränkte Ein-Zähler-Maschinen mit unentscheidbaren Universumsproblemen. Mathematical Systems Theory, 13 (1), 181-186

Für ein Alphabet mit zwei Symbolen muss es unentscheidbar sein. Es ist möglich, ein beliebiges Alphabet in zwei Buchstaben zu codieren, z. B. 16 Symbole der Länge 4 . Dann entspricht die Gleichheit mit der Gleichheit mit allen möglichen Codes für Zeichenfolgen. Im Beispiel mit 16 Buchstaben bedeutet dies Gleichheit mit allen Zeichenfolgen eines Vielfachen von vier Buchstaben. Das ist natürlich keine Universalität. Dies wird durch Hinzufügen der nicht codierenden Binärzeichenfolgen erreicht. Das ist ein regulärer Satz und kann von einem Ein-Zähler-Automaten erzeugt werden.$aaaa, aaab, \dots, bbbb$$\Sigma^*$

Die gleiche Erklärung mit für diejenigen, die es zu schätzen wissen. Angenommen, die Universalität ist für unentscheidbar . Sei ein injektiver Morphismus. Jetzt ist iff . Dies entspricht wiederum wobei die (feste) reguläre Sprache . Daher können wir nicht entscheiden, ob die binäre Gegensprache universell ist. Beachten Sie, dass die Sprache ein Zähler ist, da die Familie unter Morphismen und Vereinigung (mit regulären Sprachen) geschlossen ist.$\LaTeX$$\Sigma$$h: \Sigma^* \to \{0,1\}^*$$L = \Sigma^*$$h(L) = h(\Sigma^*)$$h(L) \cup R = \{0,1\}^*$$R$$\{0,1\}^* - h(\Sigma^*)$$h(L) \cup R$

Wenn Sie "Ich denke das" sagen, kann ich auch bestätigen, dass die Frage für ein Alphabet mit einem Buchstaben entscheidbar ist. Es ist für Push-Down-Automaten (daher kontextfreie Sprachen) entscheidbar, da CFL mit einem Buchstaben (effektiv) regulären Sprachen entsprechen.