Finden des größten 3-Clique-frei induzierten Subgraphen

Betrachten Sie dieses Problem:

Wenn ein ungerichteter Graph , finde so, dass: $G = (V, E)$ $G' = (V', E')$

$G'$ ist ein induzierter Teilgraph von $G$

$G'$ hat keine 3-Cliquen

$|V'|$ ist maximal

Daher muss die geringste Anzahl von Eckpunkten aus eliminiert $G$ werden, damit 3-Cliquen eliminiert werden.

Ein äquivalentes Problem wäre, eine 2-Färbung für $G$ so dass wenn $(v_1, v_2, v_3) \in V$ und $((v_1, v_2), (v_2, v_3), (v_3, v_1)) \in V$ ,

$(v_1.color == v_2.color \wedge v_2.color == v_3.color \wedge v_3.color == v_1.color) = False$
Der (absolute) Unterschied zwischen der Anzahl der Knoten mit Farbe 1 und der Anzahl der Knoten mit Farbe 2 ist maximal.

Kann sich jemand einen Polynom-Zeit-Algorithmus vorstellen, um eines dieser Probleme zu lösen?

— Alexandre
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Wissen Sie , dass es ist ein Polynomialzeitalgorithmus oder hoffst du nur für eine?

— Luke Mathieson

Ich habe gerade festgestellt, dass Ihre beiden Definitionen des Problems nicht übereinstimmen! Die zweite legt die Bedingung fest, dass der durch induzierte Teilgraph ebenfalls dreieckfrei ist. Ich weiß, dass es NP-Complete ist, überhaupt festzustellen, ob eine solche Partition existiert: cstheory.stackexchange.com/questions/65/h-free-cut-problem . Während die anfängliche Beschreibung erlaubt, dass der induzierte Graph von Dreiecke enthält. Welches ist das richtige?

V - V^{'}

$V-V'$

V - V^{'}

$V-V'$

— Aryabhata

@LukeMathieson: Ich glaube, dass Graphen der Klasse O Polynom-Zeit-Lösungen haben, weil ich das obige Problem aus dem folgenden Problem mit Polynom-Zeit-Lösung erreicht habe: "Wählen Sie bei einer Menge von N ganzzahligen Intervallen so viele wie möglich aus, damit sich keine 3 schneiden . "

— Alexandre

@Alexandre: Intervalldiagramme sind etwas Besonderes. Bekannte NP-Hard-Probleme treten in P auf, wenn sie auf Intervallgraphen beschränkt sind.

— Aryabhata

@Aryabhata: Der induzierte Untergraph ist G 'und kann keine 3-Cliquen haben. Daher kann es keine Dreiecke geben, genau wie in der zweiten Beschreibung.

— Alexandre

Beide Definitionen lassen Ihr Problem NP-schwer und wurden in der Theorie beantwortet.

Interpretation 1, in dem Sie das größte Dreieck freie Unter Diagramm benötigen, ist NP-Hard und beantwortet wurde hier .
AUSLEGUNG 2, in dem Sie eine Partition so müssen , dass sowohl die induzierten Subgraphen Dreieck frei sind, beantwortet wurde hier .

Beachten Sie, dass die Antworten, auf die ich verlinkt habe, für allgemeine Grünheit gelten und eine Klasse von harten Problemen darstellen. $H$ $NP$

— Aryabhata
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