Finden der kürzesten und längsten Pfade zwischen zwei Eckpunkten in einer DAG

Ist es bei einem ungewichteten DAG (gerichteter azyklischer Graph) $D = (V,A)$ und zwei Eckpunkten und möglich, den kürzesten und längsten Weg von nach in der Polynomzeit zu finden? Pfadlängen werden durch die Anzahl der Kanten gemessen.$s$$t$$s$$t$

Ich bin daran interessiert, den Bereich der möglichen Pfadlängen in der Polynomzeit zu finden.

Ps., Diese Frage ist ein Duplikat der StackOverflow-Frage Längster Pfad in einer DAG .

Für das Problem des kürzesten Pfades ist die Breitensuche ein todsicherer Weg , wenn wir uns nicht um Gewichte kümmern . Andernfalls arbeitet der Dijkstra-Algorithmus, solange keine negativen Flanken vorliegen.

Für den längsten Weg können Sie immer Bellman-Ford in der Grafik mit allen negierten Kantengewichten ausführen. Denken Sie daran, dass Bellman-Ford funktioniert, solange es keine negativen Gewichtszyklen gibt, und daher mit allen Gewichten an einer DAG arbeitet.

Sei und m = | E ( G ) | . Sei w ( a → b ) das Gewicht der Kante ( a → b ) . Angenommen, Sie möchten die minimalen und maximalen Pfadkosten von s bis t ermitteln .$n = |V(G)|$$m = |E(G)|$$w(a \to b)$$(a \to b)$$s$$t$

Führen Sie ausgehend von Folgendes aus:$b := t$

1. Wenn bereits besucht wurde, geben Sie die bereits berechneten Werte für min ( b ) und max ( b ) zurück . Ansonsten markiere b als besucht.$b$$\min(b)$$\max(b)$$b$

2. Bestimmen und notieren Sie und max ( b ) wie folgt.$\min(b)$$\max(b)$

   • Wenn , speichere min ( s ) : = max ( s ) : = 0 .$b = s$$\min(s) := \max(s) := 0$
   • Sonst setze Ignorieren von Eckpunkten, für diemin(a)=max(a)=inaccessible. Wenn Sie ein Minimum und ein Maximum für eine leere Gruppe von Kanten berechnen (keine eingehenden Kanten fürboder alle ignoriert), legen Siemin(b) fest $$\begin{align*}\min(b) &:= \min_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \min(a) \Bigr] \\ \max(b) &:= \max_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \max(a) \Bigr]\end{align*}$$ $\min(a) = \max(a) = \mathrm{inaccessible}$$b$ .$\min(b) := \max(b) := \mathrm{inaccessible}$

Sie sollten in der Lage sein zu beweisen, dass dieser Algorithmus in der Zeit , wobei die Zeit vernachlässigt wird, die zum Initialisieren aller Scheitelpunktvariablen erforderlich ist.$O(m)$