Einfaches Interpretationsproblem bezüglich der Polynomhierarchie?

So $NP$ steht für Probleme , bei denen wir kleine nachprüfbaren Zeugen haben $YES$ - Instanzen und $coNP$ für kleine nachprüfbare Zeugen für $NO$ - Instanzen. Wie funktioniert das?

1. $P^{NP}$

2. $NP^{NP}$

3. $coNP^{NP}$

4. und so weiter?

Es gibt eine logische Interpretation der verschiedenen Ebenen der Polynomhierarchie, die die Zeugencharakterisierung von $\mathsf{NP}$ und $\mathsf{coNP}$ .

Eine Sprache $L$ ist in $\Sigma_k^P$ wenn es ein Polytime-Prädikat $f$ und ein Polynom $\ell$ so dass

• $\exists |y| \le \ell(|x|)$ bedeutet, dass es eine Zahl$y$ deren Länge höchstens$\ell(|x|)$ beträgt,so dass ...
• $\forall |y| \le \ell(|x|)$ bedeutet, dass für alle$y$ deren Länge höchstens$\ell(|x|)$ beträgt, Folgendes gilt ...
• $Q$ ist$\exists$ wenn$k$ ungerade ist und$\forall$ wenn$k$ ist.

In ähnlicher Weise ist $L$ in $\Pi_k^P$ wenn es auf ähnliche Weise geschrieben werden kann, beginnend mit $\forall$ .

Als Beispiel $\mathsf{NP}^{\mathsf{NP}}$ ist $\Sigma_2^P$ und besteht aus allen Sprachen , so dass

Ihr drittes Beispiel ist $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ , was $\Delta_2^P$ . Ich bin mir nicht sicher, was die logische Charakterisierung ist.

Zu sagen, dass $\mathsf{NP}$ Probleme mit "kleinen nachprüfbaren Zeugen" enthält, ist bestenfalls konzeptionell ungenau. Die Zeugen sind nur polynomiell begrenzt, weil wir wollen, dass der Prüfer effizient ist (dh in Polynomzeit ausgeführt wird). In einer solchen Umgebung kann nur ein polynomiell langes Präfix eines Zeugen relevant sein, weshalb wir auf polynomiell langen Zeugen bestehen. Auch "klein" bedeutet möglicherweise konstant oder logarithmisch; Diese werden natürlich nicht verwendet, weil sie durch Polynom-Zeit-Algorithmen brutal erzwungen werden können (und uns nur Probleme in $\mathsf{P}$ ).

Die Art und Weise, wie der Beweissystembegriff von $\mathsf{NP}$ verallgemeinert wird, um die Polynomhierarchie zu erhalten, ähnelt dem logischen Standpunkt, den Yuval Filmus in seiner Antwort beschreibt. Lassen Sie mich die weniger technische Sichtweise dahinter vorstellen.

Wir betrachten Zwei-Parteien-Spiele, die auf QBFs basieren. Eine Instanz (oder das "Brett", wenn Sie es sich als Brettspiel wie Schach oder Dame vorstellen möchten) eines solchen Spiels ist eine Formel $\varphi(x_1, y_1, \ldots, x_m, y_m)$ und die beiden Spieler, sagen $A$ und $B$ , wählen abwechselnd Werte für $x_i$ bzw. $y_i$ . Jede solche Wahl ist ein Zug . Wenn keine Werte mehr übrig sind, wird die Formel (dh die endgültige Position des Spiels) ausgewertet. $A$ gewinnt, wenn es wahr ist, und$B$ gewinnt, wenn es falsch ist.

Dieses Spiel modelliert existenzielle und universelle Quantifizierer auf folgende Weise: Wenn die Formel eine echte QBF ist, hat $A$ (das die Rolle existenzieller Quantifizierer spielt) immer eine Gewinnstrategie und kann eine Reihe von $x_1, \ldots, x_m$ auswählen x m die Ursache $\varphi$ wahr zu sein , um unabhängig von den Werten $y_1, \ldots, y_m$ , aufgenommen durch$B$ (das die Rolle des Allzeichen spielt). Die "Ja" -Instanzen sind diejenigen, in denen der QBF wahr ist, dh$A$ immer eine Gewinnstrategie, unabhängig davon, wie$B$ spielt.

$\Sigma_i$ und$\Pi_i$ entsprechen dann Spielen, die für$i$ Zügedauernund in denen$A$ bzw.$B$ zuerst gehen dürfen. Tatsächlich erhalten Sie sogar$\textsf{PSPACE}$ und die Aufnahme von$\textsf{PH} \subseteq \textsf{PSPACE}$ als Bonus, da dies der Klasse von Spielen entspricht, die für eine beliebige (wenn auch vorgegebene) Anzahl von Zügen ausgeführt werden.

Beachten Sie auch, dass $\Sigma_1 = \mathsf{NP}$ und $\Pi_1 = \mathsf{coNP}$ eher entartete Fälle dieser Spiele sind, da $B$ bzw. $A$ überhaupt keine Chance haben, sich zu bewegen! Zum Beispiel für die "Ja" -Instanzen von $\Pi_1 = \mathsf{coNP}$ ,$A$ bekommt einfach zu gewinnenindemnichtstun (da eine „Ja“ Instanz eine Tautologie ist und wahr istunabhängig davonwelche$B$ wählt).

Es gibt auch eine allgemeinere Version des oben genannten, die auf generischen Spielen basiert (und nicht speziell auf QBFs). Sie finden es beispielsweise in Abschnitt 5.4 "PSPACE and Games" von Goldreichs "Computational Complexity: A Conceptual Perspective" ( hier ist ein kostenloser Link zum Entwurf der Version; siehe S. 174 sowie S. 118–121). .

$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ ist das Schließen von$\mathsf{NP}$ unter Polynomzeit Turing-Reduktionen (= Cook-Reduktionen). Daher ist es unter Cook-Reduktionen geschlossen, so dass wir$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}=\mathsf{P}^{\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}}$ . InTat, für jedes Orakel$\mathsf{A}$ definieren wir$\mathsf{P}^{\mathsf{A}}$ als die Schließung von$\mathsf{A}$ unter CookReduzierungen, und wir haben immer$\mathsf{P}^{\mathsf{A}}=\mathsf{P}^{\mathsf{P}^{\mathsf{A}}}$ und$\mathsf{NP}^{\mathsf{A}}=\mathsf{NP}^{\mathsf{P}^{\mathsf{A}}}$ . Auch $\mathsf{coNP}^{\mathsf{A}}=\mathsf{coNP}^{\mathsf{P}^{\mathsf{A}}}$ und$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}=\mathsf{P}^{\mathsf{coNP}}$ . Aber Kochreduktionen fühlen sich für Entscheidungsprobleme etwas unnatürlich an.

Es ist zu beachten, dass $\mathsf{P}$ eine Funktionsklasse in Verkleidung ist und dass $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ auch eine Funktionsklasse in Verkleidung ist. Schreiben wir $\mathsf{PF}$ für die Klasse der polynomialzeitberechnbaren Teilfunktionen, dh die Funktionsklasse, die $\mathsf{P}$ , und $\mathsf{PF}^{\mathsf{NP}}$ für die Funktionsklasse, die $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ . Das Einbeziehen der Teilfunktionen ermöglicht die Verwendung einer etablierten Notation (verwendet in Eine Taxonomie von Komplexitätsklassen von Funktionen von A. Selman, 1994), die den Namenskonflikt mit der nicht verwandten Klasse $\mathsf{FP}$ vermeidet .

Kochreduktion fühlt sich für Funktionsklassen natürlicher an. Sie sind wahrscheinlich auf eine Cook-Reduktion gestoßen (und implizit auch auf die Klasse $\mathsf{PF}^{\mathsf{NP}}$ ), als Ihr Lehrbuch oder Professor erklärte, warum es in Ordnung ist, nur Entscheidungsprobleme zu betrachten. Typischerweise wird so etwas wie ein Algorithmus (von $\mathsf{PF}^{\mathsf{NP}}$ ) zur Berechnung der lexikographisch letzten zufriedenstellenden Zuordnung einer gegebenen SAT-Instanz beschrieben. Man fragt zuerst das Orakel, ob es überhaupt eine zufriedenstellende Zuordnung gibt, und bestimmt dann die Werte der (binären) Variablen $x_k$ indem man das Orakel nacheinander fragt, ob es eine zufriedenstellende Zuordnung gibt, wobei $x_1,\dots,x_{k-1}$ are set to the already determined values, and $x_k$ is set to $1$. If yes, then one sets $x_k$ to $1$, otherwise one sets $x_k$ to $0$. (Note that this is a partial function, since the function is undefined in case there is no satisfying assignment.)

Let me try to say some words about Yuval Filmus remark:

Your third example is $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$, which is $\Delta_2^P$. I'm not sure what is the logical characterization.

There are two difficulties to overcome: (1) the characterization of a function class has a different feel than the logical characterization of a decision class, and (2) at least for $\mathsf{P}^{\mathsf{A}}$ we have to model the deterministic character of the queries to the oracle $\mathsf{A}$.

If we look at the class $\mathsf{UPF}$ of partial functions corresponding to the class $\mathsf{UP}$ of decision problems first, then we can ignore (2) for a moment: A partial function $pf$ is in $\mathsf{UPF}^{\Sigma_k^P}$ if there is a polytime partial function $p$, a polytime predicate $f$ and a polynomial $\ell$ such that $pf(x)=p(x,z)$ where

• $\exists |y| \le \ell(|x|)$ means that there exists a number $y$ whose length is at most $\ell(|x|)$ such that ...
• $\forall |y| \le \ell(|x|)$ mean that for all $y$ whose length is at most $\ell(|x|)$, the following holds ...
• $Q$ is $\exists$ if $k$ is odd and $\forall$ if $k$ is even.

One could try to overcome (2) by introducing the operators $\operatorname{BIT}(z,i):=z[i]$ and $\operatorname{TRUNC}(z,i):=z\left|_{[1,i)}\right.$. But it would still get ugly, and one can argue whether this would really constitute a logical characterization.