Kann man durch Turing-Reduktionen NP-Härte zeigen?

In der Arbeit Complexity of the Frobenius Problem von Ramírez-Alfonsín wurde mithilfe von Turing-Reduktionen nachgewiesen, dass ein Problem NP-vollständig ist. Ist das möglich? Wie genau? Ich dachte, dass dies nur durch eine polynomielle Zeitvielfachreduktion möglich wäre. Gibt es Referenzen dazu?

Gibt es zwei verschiedene Vorstellungen von NP-Härte, sogar NP-Vollständigkeit? Aber dann bin ich verwirrt, denn aus praktischer Sicht, wenn ich zeigen möchte, dass mein Problem NP-schwer ist, welches verwende ich?

Sie begannen die Beschreibung wie folgt:

Eine Polynomzeit Turing-Reduktion von einem Problem zu einem anderen Problem ist ein Algorithmus A, der unter Verwendung einer hypothetischen Subroutine A 'löst, um so zu lösen , dass A' ein Polynomzeitalgorithmus für wäre, dann wäre A eine Polynomzeit Algorithmus für . Wir sagen, dass auf reduziert werden kann .P 2 P 1 P 2 P 2 P 1 P 1 P $P_1$$P_2$$P_1$$P_2$$P_2$$P_1$$P_1$$P_2$

Ein Problem heißt (Turing) NP-schwer, wenn ein NP-vollständiges Entscheidungsproblem so dass Turing auf reduziert werden kann .P 2 P 2 P $P_1$$P_2$$P_2$$P_1$

Und dann verwenden sie eine solche Turing-Reduktion aus einem NP-vollständigen Problem, um die NP-Vollständigkeit eines anderen Problems aufzuzeigen.

Es gibt (mindestens) zwei verschiedene Begriffe der NP-Härte. Der übliche Begriff, der Karp-Reduktionen verwendet, besagt, dass eine Sprache NP-hart ist, wenn jede Sprache in NP Karp auf L reduziert wird . Wenn wir Karp-Reduzierungen in Cook-Reduzierungen ändern, erhalten wir einen anderen Begriff. Jede Sprache, die Karp-NP-hart ist, ist auch Cook-NP-hart, aber das Gegenteil ist wahrscheinlich falsch. Nehmen wir an, dass NP verschieden von coNP ist, und nehmen Sie Ihre Lieblings - NP-vollständige Sprache L . Dann ist das Komplement von L Cook-NP-hart, aber nicht Karp-NP-hart.$L$$L$$L$$L$

Der Grund , dass ist Koch-NP-schwer ist folgende: jede Sprache nimmt M in NP. Da L NP-hart ist, gibt es eine polytime Funktion f derart , daß x ∈ M iff f ( x ) ∈ L iff f ( x ) ∉ ¯ L . Ein Koch Reduktion von M zu ··· L nimmt x berechnet f ( x ) , überprüft , ob f ( x ) ∈ $\overline{L}$$M$$L$$f$$x \in M$$f(x) \in L$$f(x) \notin \overline{L}$$M$$\overline{L}$$x$$f(x)$ und gibt das Gegenteil aus.$f(x) \in \overline{L}$

Der Grund , dass nicht NP-hard ist (unter der Annahme NP unterscheidet sich von coNP) ist die folgende. Angenommen ·········· L waren NP-hart. Dann für jede Sprache M in coNP, gibt es eine Reduktion polytime f , so daß x ∈ ¯ M iff f ( x ) ∈ ¯ L , oder mit anderen Worten, x ∈ M iff f ( x ) ∈ L . Da L in NP ist, zeigt dies, dass M in NP ist und somit coNP $\overline{L}$$\overline{L}$$M$$f$$x \in \overline{M}$$f(x) \in \overline{L}$$x \in M$$f(x) \in L$$L$$M$$\subseteq$NP. Dies impliziert sofort, dass NP coNP und somit NP = coNP ist.$\subseteq$

Wenn eine Cook-NP-harte Sprache in P ist, dann ist P = NP: Verwenden Sie für jede Sprache M in NP die Cook-Reduktion auf L , um einen Polyzeitalgorithmus für M zu erhalten . In diesem Sinne sind Cook-NP-vollständige Sprachen auch "am härtesten in NP". Auf der anderen Seite ist es einfach , dass Cook-NP-hard = Koch-coNP-schwer zu sehen: eine Cook - Reduktion für L kann auf eine Cook - Reduktion umgewandelt werden ˘ L . Daher verlieren wir etwas an Präzision, wenn wir Cook-Reduzierungen verwenden.$L$$M$$L$$M$$L$$\overline{L}$

Es gibt wahrscheinlich andere Mängel bei der Verwendung von Cook-Reduzierungen, aber das überlasse ich anderen Antwortenden.

Das ist gut. Eine Polynom-Zeit-Turing-Reduktion ist eine Cook-Reduktion (wie im Cook-Levin-Theorem), und die Reduktion eines NP-vollständigen Problems auf das neue Problem ergibt eine NP-Härte (wie eine Polynom-Zeit-Viel-Eins-Reduktion, AKA-Karp-Reduktion). Tatsächlich sind Karp-Reduzierungen ohnehin nur auf Turing-Reduzierungen beschränkt.

Wo sie sich (in Bezug auf diese Frage) unterscheiden, zeigt sich die Mitgliedschaft. Eine Karp-Reduktion von einem Problem zu einem Problem in NP zeigt, dass sich das erste in NP befindet. Eine Cook-Reduzierung in die gleiche Richtung tut dies nicht.