Auftragsplanung mit Engpassproblem

Bei Jobs J 1 , J 2 , . . . , J n , jeder Job benötigt T i > 0 , T i ∈ N Zeit, um abgeschlossen zu werden.$n$$J_1,J_2,...,J_n$$T_i > 0, T_i \in N$

Jeder Auftrag muss von einer einzelnen Maschine M vor- und nachbearbeitet werden, die jeweils nur einen Auftrag verarbeiten kann, und beide Phasen erfordern 1 Zeiteinheit. Nach der Vorverarbeitung wird der Job an eine Maschine mit unbegrenzter Leistung gesendet (die eine unbegrenzte Anzahl von Jobs parallel verarbeiten kann) und er wird zum Zeitpunkt T i bereit sein , dann muss er ( sofort ) an die Maschine M gesendet werden wieder zur Nachbearbeitung.$J_i$$T_i$

Das damit verbundene Entscheidungsproblem ist:

Eingabe: die Verarbeitungszeiten von N Jobs, eine ganze Zahl K ≥ 2 N Frage: Können wir alle Jobs in der Zeit ≤ K unter Verwendung des obigen "Engpass" -Modells verarbeiten?$T_i >0, T_i \in \mathbb{N}$$N$$K\geq 2N$
$\leq K$

Hat dieses Problem einen Namen?
Was ist ihre Komplexität? ( Ist es in oder ist es N P- vollständig?) $\sf{P}$$\sf{NP}$

UPDATE 29. März:
Wie von M.Cafaro in seiner Antwort richtig bemerkt, ähnelt das Problem dem UMFT-Problem (Unconstrained Minimum Finish Time Problem) (siehe Kapitel 17 des Handbuchs für Planungsalgorithmen ), das -hard ist (bewiesen in W. Kern und W. Nawijn, "Planen von Jobs mit mehreren Operationen mit Zeitverzögerungen auf einer einzelnen Maschine", University of Twente, 1993). Wie ich sehen kann, gibt es einige Unterschiede in meinem Modell:$\sf{NP}$

• Die Vor- / Nachbearbeitungszeit ist konstant (1 Zeiteinheit).
• Sobald der Auftrag abgeschlossen ist, muss er sofort nachbearbeitet werden (das UMFT-Modell ermöglicht Verzögerungen).

Ich habe den Kern & Nawijn-Beweis nicht online gefunden, daher weiß ich immer noch nicht, ob die oben genannten Einschränkungen die Schwierigkeit des Problems ändern.

Schließlich können Sie sich den gesamten Prozess wie einen einzelnen Kochroboter mit einem großen Ofen vorstellen. Der Roboter kann nacheinander verschiedene Arten von Lebensmitteln zubereiten (alle erfordern die gleiche Zubereitungszeit), sie in den Ofen stellen. Sobald sie gekocht sind, muss er sie aus dem Ofen nehmen und einige kalte Zutaten hinzufügen ... das " Kochroboterproblem " :-)

Die Frage wurde von W. Yu, H. Hoogeveen und JK Lenstra (2004) in "Minimierung der Makespan in einem Zwei-Maschinen-Flow-Shop mit Verzögerungen und Einheitszeitbetrieb ist NP-schwer" bewiesen . Dies wird in Abschnitt 9 des Papiers bewiesen:

Satz 24. Das Problem der Minimierung der Makespan auf einer einzelnen Maschine mit zwei Zeiteinheiten pro Job mit willkürlichen Zwischenverzögerungen ist stark NP-schwer.

Das genaue Modell, das hier untersucht wird, besteht darin, dass Job aus zwei Operationen besteht, die Zeiteinheiten benötigen, die durch eine Verzögerungszeit T $i$$T_i$ . Das Problem ist stark NP-vollständig, sowohl wenn der genaue Wert der Verzögerung für jeden Job angegeben wird, als auch wenn für jeden Job eine minimale Verzögerungszeit angegeben wird.$T_i$

Dies sieht aus wie das von Sahni eingeführte sogenannte Master-Slave-Planungsmodell . Insbesondere fällt Ihr Problem unter die Single-Master-Master-Slave-Systeme. Sie können mehrere Fälle unterscheiden:

1) Wenn Sie keine zusätzliche Einschränkung für die Reihenfolge der Jobausführung hinzufügen (wie in Ihrem Fall), wird das Problem als uneingeschränktes Problem der minimalen Endzeit (UMFT) bezeichnet und hat sich als NP-hart erwiesen.

2) Gleiche Vor- und Nachbearbeitungsaufträge: Es ist möglich, ein O ( n log n ) zu entwerfen.$O(n \log n)$ -Algorithmus , um einen Auftrag zu erstellen , der die Mindestendzeit (OPMFT) beibehält.

Daher ist in Fall 1 Ihr Problem -hart, während es in ist$NP$$P$

Zusätzliche verwandte Probleme sind:

3) Nachbearbeitung in umgekehrter Reihenfolge: Für jede gegebene Vorverarbeitungspermutation ist es möglich, einen Zeitplan in umgekehrter Reihenfolge zu erstellen , der als kanonischer Zeitplan in umgekehrter Reihenfolge (CROS) bezeichnet wird. Bei einer Vorverarbeitungspermutation $σ$$σ$ ist der entsprechende CROS eindeutig. Es ist leicht festzustellen, dass jeder ROMFT-Zeitplan ( Minimum Finish Time Reverse Order ) ein CROS ist.

4) Keine Wartezeit im Prozess:

a) [MFTNW] Minimieren Sie die Endzeit unter der Bedingung, dass kein Warten auf den Prozess erforderlich ist. b) [OP-MFTNW] Dies ist die auftragserhaltende Version von MFTNW. Das heißt, minimieren Sie die Endzeit, vorbehaltlich der Einschränkungen, dass keine Wartezeiten bestehen und die Reihenfolge erhalten bleibt. c) [RO-MFTNW] Minimieren Sie die Endzeit vorbehaltlich der Einschränkungen, dass keine Wartezeit besteht und die Reihenfolge umgekehrt ist.

$a$$b$$c$

Weitere Details finden Sie im Handbuch zur Zeitplanung , Kapitel 17.