Äquivalenz von Büchi-Automaten und linearem

Es ist bekannt, dass jede LTL-Formel von einem Büchi Automaten ausgedrückt werden kann. Offensichtlich sind Büchi-Automaten jedoch ein leistungsfähigeres, ausdrucksstärkeres Modell. Ich habe irgendwo gehört, dass Büchi-Automaten der linearen Zeit -calculus entsprechen (dh -calculus mit üblichen Fixpunkten und nur einem zeitlichen Operator: ).$\omega$$\mu$$\mu$$\mathbf{X}$

Gibt es einen Algorithmus (konstruktiver Beweis) für diese Gleichheit?

Die konstruktive Äquivalenz von linear-zeitlichen Fixpunktformeln (die Logik wird von manchen als TL bezeichnet) und Buechi-Automaten wird in einer Abhandlung von Mads Dam aus dem Jahr 1992 beschrieben.$\nu$

Fixpunkte von Buchi Automata , FST & TCS 1992.

Siehe Seite 4 für die Konstruktion einer TL-Formel aus einem Buechi-Automaten. Die Konstruktion eines Buechi-Automaten aus einer ν TL-Formel ist komplizierter und nimmt den Rest des Papiers in Anspruch.$\nu$$\nu$

Der Rest dieser Antwort ist ein kurzes Argument dafür, dass dieses Ergebnis in der Literatur in weitaus weniger direkter Form vorlag. Pierre Wolper hat gezeigt, dass es omega-reguläre Eigenschaften gibt, die nicht von LTL definiert werden können, und hat eine Erweiterung von LTL (ETL genannt) angegeben, die omega-reguläre Eigenschaften ausdrücken kann.

Temporale Logik kann ausdrucksvoller sein , Pierre Wolper, Information and Computation, 1983.

Es ist auch bekannt, dass man ETL-Formeln in TL-Formeln übersetzen kann, sodass Sie durch Kombinieren dieser Ergebnisse eine Übersetzung von Buechi-Automaten in ν TL ablesen können . In der anderen Richtung folgt aus der Arbeit von Buechi, dass S1S-Formeln (die Theorie zweiter Ordnung eines Nachfolgers) in Buechi-Automaten kompiliert werden können. Durch die Übersetzung von ν TL-Formeln in S1S erhalten wir eine Übersetzung von ν TL in Buechi-Automaten. Wenn Sie eine ausführlichere Einführung in diese Themen wünschen, empfehle ich Ihnen das Skript von Mads Dam oder die Arbeit von Roope Kaivola (leider nicht so bekannt wie viele verwandte Arbeiten).$\nu$$\nu$$\nu$$\nu$

Zeitliche Logik, Automaten und klassische Theorien - Eine Einführung , Mads Dam, ESSLLI 1994.

Using Automata to Characterise Fixed Point Temporal Logics, Roope Kaivola

IIRC, there was a similar problem in Moshe Vardi's talk at the Fields Institute (it wasn't about $\mu$-calculus though).

You may want to check the slides or check Vardi's papers. There is definitely an algorithm but IIRC the negations cause a huge increase in the time required to perform the translation.