Ein Verfahren zur topologischen Sortierung, ein Beweis für seine Richtigkeit

Definition: Eine erhaltene Invariante einer Zustandsmaschine ist ein Prädikat für Zustände, so dass wann immer$P$$P(q)$ ist wahr für einen Staat, $q$, und $q \rightarrow r$ für einen Staat, $r$, dann $P(r)$ hält.

Definition: Ein Liniendiagramm ist ein Diagramm, dessen Kanten sich alle auf einem Pfad befinden.

Definition: Formal ist eine Zustandsmaschine nichts anderes als eine binäre Beziehung auf einer Menge, außer dass die Elemente der Menge als "Zustände" bezeichnet werden, die Beziehung als Übergangsrelation bezeichnet wird und ein Pfeil im Diagramm der Übergangsrelation ist einen Übergang genannt. Ein Übergang vom Staat$q$ zu erklären $r$wird geschrieben .$q \rightarrow r$

DAG : Directed Acylic Graph

Das folgende Verfahren kann auf jeden gerichteten Graphen angewendet werden :$G$

1. Löschen Sie eine Kante, die sich in einem Zyklus befindet.
2. Löschen Sie die Kante wenn ein Pfad von Vertex u zu Vertex v vorhanden ist , der <u \ rightarrow v> nicht enthält .$<u \rightarrow v>$$u$$v$$<u \rightarrow v>$
3. Fügen Sie die Kante $<u \rightarrow v>$ wenn zwischen dem Scheitelpunkt $u$ und dem Scheitelpunkt v in keiner Richtung ein Pfad vorhanden ist $v$.

Wiederholen Sie diese Vorgänge, bis keiner von ihnen anwendbar ist.

Diese Prozedur kann als Zustandsmaschine modelliert werden. Der Startzustand ist $G$ , und die Zustände sind alle möglichen Digraphe mit den gleichen Eckpunkten wie $G$ .

(b) Beweise , dass , wenn das Verfahren beendet mit einem Digraph, , dann ein Liniendiagramm mit den gleichen Eckpunkten wie .$H$$H$$G$

Hinweis: Zeigen Sie, dass eine Operation anwendbar sein muss , wenn kein Liniendiagramm ist.$H$

(c) Beweisen Sie, dass eine DAG eine erhaltene Invariante des Verfahrens ist.

(d) Beweisen Sie, dass, wenn eine DAG ist und die Prozedur endet, die Laufrelation des endgültigen Liniendiagramms eine topologische Art von .$G$$G$

Hinweis: Stellen Sie sicher, dass das Prädikat :: es gibt einen gerichteten Pfad von nach eine erhaltene Invariante der Prozedur für zwei beliebige Eckpunkte einer DAG.$P(u,v)$$u$$v$$u, \ v$

(e) Beweisen Sie, dass die Prozedur endet , wenn endlich ist.$G$

Hinweis: Sei die Anzahl der Zyklen, die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Eckpunktpaare mit einem gerichteten Pfad (in beide Richtungen) zwischen ihnen. Man beachte, dass wobei die Anzahl der Eckpunkte von . Finden Sie die Koeffizienten so, dass + bp + e + c ein nichtnegativer ganzzahliger Wert ist und bei jedem Übergang abnimmt.$s$$e$$p$$p \leq n^2$$n$$G$$a,b,c$

Meine Probleme:

Ich habe mich mit den Problemen und aber auch Lösungen für andere Probleme sind willkommen.$d$$e$

Bei Problem konnte ich den Hinweis nicht verstehen und warum er gegeben wird, wie er hilft .$d$

Auf meine Weise, zu beweisen , versuche ich zu zeigen, dass bei einer bestimmten Prozedur immer die Reihenfolge der Eckpunkte, die mit Kanten verknüpft sind, im Startgraphen beibehalten wird . Ein Liniendiagramm ist also automatisch eine topologische Sortierung, da die "Vorrangreihenfolge" der Scheitelpunkte erhalten bleibt.$d$$G$

Aber Verfahren Nummer ist problematisch. Wie kann gezeigt werden, dass es Vorrang hat?$3$

b. Als Operation$1$ kann nicht durchgeführt werden, $H$muss eine DAG sein. Betrachten Sie eine topologische Art von$H$. Wie$3$ kann nicht durchgeführt werden, wenn $u$ geht voraus $v$ in der topologischen Art gibt es einen Weg von $u$ zu $v$. Beginnen Sie am anfänglichen Scheitelpunkt in der Sortierung und bewegen Sie sich weiter vorwärts, bis wir einen Scheitelpunkt finden, der mehr als eine ausgehende Kante hat (wenn jeder Scheitelpunkt nur eine ausgehende hat, ist es ein Liniendiagramm). Lassen$u$ Kanten haben $v$ und $w$ und lass $v$ vorausgehen $w$. Dann gibt es einen Weg von$v$ zu $w$, die einen Weg von gibt $u$ zu $w$ das schließt nicht ein $u \rightarrow w$, ein Widerspruch als Operation $2$ kann hier durchgeführt werden.

c. Da das Löschen von Kanten die DAG-Eigenschaft nicht ändert, müssen wir nur überprüfen$3$. Ein Zyklus wird nur gebildet, wenn wir eine Kante hinzufügen$u \rightarrow v$, als es einen Weg gab von $v$ zu $u$bereits. Wie$3$ fügt solche Kanten nicht hinzu, DAG wird beibehalten.

d. Lassen$H$ erhalten werden von $G$durch eine einzige Operation. Wir zeigen, dass jede topologische Art von$H$ gilt auch für $G$(Beachten Sie, dass das Gegenteil nicht wahr sein muss). Dafür müssen wir zeigen, dass es einen Weg von gibt$u$ zu $v$ im $G$, dann gibt es Weg von $u$ zu $v$ im $H$zu. Einige Pfade können nur unterbrochen werden, wenn Kanten entfernt werden. Also klar Betrieb$3$wird hier kein Problem verursachen. Auch in$2$Wir entfernen nur diese Kanten $u \rightarrow v$ wo gibt es schon einen weg von $u$ zu $v$. Also für jeden Weg von$w$ zu $z$Wenn wir diese Kante enthalten, können wir diese Kante einfach durch den Pfad von ersetzen $u$ zu $v$, einen Pfad von beibehalten $w$ zu $z$ im $H$. Und$G$ ist DAG, also $1$ passiert nie.

e. Beobachten Sie zuerst, wie jeder von$s$, $e$ und $p$mit jeder Operation ändern. Mit Betrieb$1$, $s$ reduziert sich um mindestens $1$, $e$ reduziert um $1$ und $p$ kann um nahe abnehmen $n^2$(Fast alle Pfade könnten unterbrochen sein). Mit$2$, $s$ könnte um reduzieren $1$ (allerdings nicht notwendig), $e$ reduziert um $1$ und $p$ist unverändert. Mit$3$, $s$ ändert sich nicht, $e$ erhöht sich um $1$ und $p$ erhöht sich um mindestens $1$. Beachten Sie, dass wir auf dem Weg zum Liniendiagramm versuchen, die Anzahl der Kanten zu verringern ($e$), Zyklen entfernen ($s$) während zunehmen $p$. Also rein$as+bp+de+c$, wir erwarten $a$ und $d$ positiv sein und $b$negativ sein. Der schlimmste Fall ändert sich in$s,e,p$ für jede Operation sind

$$\begin{array}{cccc} & s & e & p \\ 1. & -1 & -1 & -n^2 \\ 2. & 0 & -1 & 0 \\ 3. & 0 & 1 & 1 \end{array}$$

Wie $s$ nie erhöht, können wir machen $a$so groß wie wir wollen. Da können wir skalieren$a,b,d$ durch eine Konstante, lassen Sie uns behalten $d=1$. Mit diesen Beobachtungen können wir einen möglichen Satz von Werten für erhalten$a,b,d$ wie $2n^2$, $-2$ und $1$beziehungsweise. Und wählen$c$ als negativ des Wertes am Liniendiagramm.