Konstruiere zwei Funktionen und die erfüllen

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Konstruiere zwei Funktionen erfüllen: $f,g: R^+ → R^+$

$f, g$ sind stetig;
$f, g$ nehmen monoton zu;
$f \ne O(g)$ und . $g \ne O(f)$

asymptotics landau-notation

— Jessie
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Haben Sie die Möglichkeit in Betracht gezogen, dass solche Funktionen möglicherweise nicht vorhanden sind?

— 16.

Wenn beide logarithmisch exponentiell sind, dann ist entweder oder . Die meisten in der Praxis vorkommenden Funktionen haben diese Form.

f, g

$f,g$

f = O (g)

$f=O(g)$

g = O (f)

$g=O(f)$

— Yuval Filmus

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Es gibt viele Beispiele für solche Funktionen. Der einfachste Weg, um zu verstehen, wie man an ein solches Beispiel kommt, ist es, es manuell zu konstruieren.

Beginnen wir mit der Funktion über die natürlichen Zahlen, da sie kontinuierlich zu den Realzahlen vervollständigt werden können.

Ein guter Weg, um sicherzustellen und ist , zu alternativen zwischen ihren Größenordnungen. Zum Beispiel könnten wir definieren $f\neq O(g)$ $g\neq O(f)$

$f(n)=\begin{cases} n & n \text{ is odd}\\ n^2 & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Dann könnten wir behave die entgegengesetzte auf die Quoten und Evens. Dies funktioniert jedoch bei Ihnen nicht, da diese Funktionen nicht monoton ansteigen. $g$

Die Wahl von war jedoch etwas willkürlich, und wir konnten die Größen einfach erhöhen, um eine Monotonie zu erzielen. Auf diese Weise können wir kommen mit: $n,n^2$

$f(n)=\begin{cases} n^{2n} & n \text{ is odd}\\ n^{2n-1} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$ und $g(n)=\begin{cases} n^{2n-1} & n \text{ is odd}\\ n^{2n} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Dies sind eindeutig monotone Funktionen. Außerdem verhält sich , da sich bei den ungeraden ganzen Zahlen wie verhält, während sich wie verhält und umgekehrt am Abend. $f(n)\neq O(g(n))$ $f$ $n^{2n}$ $g$ $n^{2n-1}=n^{2n}/n=o(n^{2n})$

Jetzt müssen Sie sie nur noch zu den Reals vervollständigen (z. B. indem Sie lineare Teile zwischen die Ganzzahlen einfügen, aber das ist wirklich nebensächlich).

Nachdem Sie nun diese Idee haben, können Sie auch die trigonometrischen Funktionen verwenden, um geschlossene Formeln für solche Funktionen zu konstruieren, da und oszillieren und Spitzenwerte an wechselnden Punkten aufweisen. $\sin$ $\cos$

— Shaull
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f (n) \in O (n^{2 n})

$f(n) \in O(n^{2n})$

g (n) \in O (n^{2 n})

$g(n) \in O(n^{2n})$

f (n)

$f(n)$

g (n)

$g(n)$

f (n) \leq n^{2 n}

$f(n)\le n^{2n}$

g

$g$

O

$O$

-3

Eine gute Illustration für mich ist: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29%2B2x%2C+cos%28x%29%2B2x

f (n) = 2 x + s i n (x)

$f(n) =2x+sin(x)$

g (n) = 2 x + c o s (x)

$g(n) =2x+cos(x)$

f \neq O (g)

$f\neq O(g)$

g \neq O (f)

$g\neq O(f)$

— user15305
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O

$O$