Was ist ein effizienter Algorithmus?

Was wird unter dem Gesichtspunkt des asymptotischen Verhaltens als "effizienter" Algorithmus angesehen? Was ist der Standard / Grund für das Zeichnen der Linie an diesem Punkt? Persönlich würde ich denken, dass alles, was ich naiv als "Subpolynom" bezeichnen könnte, so dass wie n 1 + ϵ effizient wäre und alles, was Ω ( n 2 ) ist. wäre "ineffizient". Ich habe jedoch gehört, dass alles, was polynomisch ist, als effizient bezeichnet wird. Was ist die Begründung?$f(n) = o(n^2)$$n^{1+\epsilon}$$\Omega(n^2)$

Das hängt vom Kontext ab. In der theoretischen Informatik wird normalerweise jeder Polynomzeitalgorithmus als "effizient" angesehen. In Approximationsalgorithmen würde beispielsweise eine Laufzeit von als effizient angesehen, obwohl sie in der Praxis für keinen vernünftigen Wert von ϵ verwendet werden kann . Ein Algorithmus für SAT, der in n 2 100 ausgeführt wird, wäre ein erstaunlicher Durchbruch.$n^{1/\epsilon^{1/\epsilon}}$$\epsilon$$n^{2^{100}}$

In der klassischen Algorithmusik, dh Algorithmen aus den 80er Jahren und früher, werden Laufzeiten unter oder so (Think Matrix Multiplication, Min Cost Cost Matching, Flows, lineare Programmierung) als effizient angesehen. Sie werden von den meisten Menschen immer noch als effizient angesehen, würde ich sagen. Natürlich wird ein n 2 -Algorithmus nicht als effizient angesehen, wenn ein n log n -Algorithmus bekannt ist, wie zum Beispiel zum Sortieren.$n^3$$n^2$$n\log n$

Heutzutage gibt es einen Trend zu sublinearen Algorithmen oder Streaming-Algorithmen, die mit Terabytes an Daten umgehen können. Verwenden Sie die Matrixmultiplikation, um den Seitenrang aller Seiten im Google-Index zu berechnen. Das wird nicht funktionieren.

Die asymptotische Laufzeit eines Algorithmus ist zwar sicherlich nützlich, erzählt aber nicht die ganze Geschichte. Es gibt Algorithmen mit einer guten asymptotischen Laufzeit, aber Konstanten, die so groß sind, dass sie effektiv nicht verwendet werden können. Je. Lipton nennt sie galaktische Algorithmen . Robert Sedgewick stellt in seinem Vortrag Putting the Science Back Into Computer Science sogar fest, dass Worst-Case-Grenzen "oft für die Vorhersage nutzlos, oft für Garantien nutzlos" und "Worst-Case-Analyse für die Vorhersage der Leistung nutzlos" sind .

Meine 2 Cent aus dem Blickwinkel verteilter Algorithmen: Bei der Betrachtung großer Netzwerke (P2P, soziale Netzwerke usw.) wird ein verteilter Algorithmus als effizient angesehen, wenn seine Laufzeit für eine Konstante c > 0 und der Algorithmus verwendet Nachrichten mit O ( log n ) Bits. Beachten Sie, dass die Anforderung an Nachrichtengrößen normalerweise noch wichtiger ist als die Laufzeit, insbesondere für "globale" Probleme, die eine größere Untergrenze für die Laufzeit haben, z. B. verteiltes MST.$O(\log^c n)$$c>0$ $O(\log n)$

Der Grund dafür ist, dass aus Sicht des asymptotischen Verhaltens eine Polynomwachstumsrate trivial geringer ist als eine Superpolynomwachstumsrate. In der Praxis läuft ein Polynomzeitalgorithmus viel schneller als ein Superpolynomzeitalgorithmus, wenn die Eingabegröße zunimmt.

Natürlich würde niemand sagen, dass ein Algorithmus mit einer Polynomkomplexität von beispielsweise "effizient" ist, aber die Mehrheit der Algorithmen überschreitet selten eine Komplexität von O ( n 5 ) .$O(n^{2000})$$O(n^5)$

$O(n^2)$

Theoretisch gilt ein Algorithmus als effizient, wenn seine Laufzeit im ungünstigsten Fall durch ein Polynom in seiner Eingangslänge begrenzt ist. Der Grund dafür ist, dass Polynome gute Verschlusseigenschaften haben. Das Hinzufügen, Multiplizieren und Zusammensetzen von Polynomen sind Operationen, die Polynome ergeben, und diese sind gut, wenn Sie Probleme aufeinander reduzieren.

Natürlich wird die Lücke zwischen Polynom und Exponential mit zunehmender Eingangslänge sehr, sehr groß, so dass Polynom-Zeit-Algorithmen viel besser sind. In der Praxis kann ein Polynom-Zeit-Algorithmus lange dauern, bis er beendet wird, aber es kann sein, dass es sich um einen optimalen Algorithmus handelt (den bestmöglichen). In diesem Fall würde ich sagen, dass er effizient ist.

$n^3$$n^2$