Anzahl der Hamilton-Zyklen in einem Sierpiński-Diagramm

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Ich versuche zu lösen dieses Problem , für die ich brauche , um die Anzahl der Hamilton - Zyklen berechnen in der n - ten Ordnung Sierpinski-Graph S n . (Bitte beachten Sie auch den obigen Link für die Definition und Bilder von Sierpinski-Graphen)$C(n)$$n$$S_n$

Ich habe , aber ich muss etwas durcheinander gebracht haben, weil meine Lösung nicht mit dem angegebenen Wert übereinstimmt . C ( 5 ) = 71328803586048 . Meine Argumentation besteht aus sehr grundlegenden Gedanken, und ich kann den Fehler nicht finden. Jede Hilfe wird sehr geschätzt. Selbst wenn es langwierig erscheint, werden die Gedanken trivial, wenn Sie sich die Grafiken ansehen, während Sie ihnen folgen.$C(n)$$C(5) = 71328803586048$

(a) In einem gegebenen Graphen bezeichnet die äußeren Ecken A , B , C . Dann definiere ich folgende Größen:$S_n$$A,B,C$

die Anzahl der HamiltonOperator Pfade von A zu C .$N(n) :=$$A$$C$

Anzahl der Pfade vonAnachC,die jeden Knoten mit Ausnahme vonBeinmal besuchen.$\bar{N}(n) :=$$A$$C$$B$

Ich werde solche Pfade im Folgenden auch als oder ˉ N- Pfade bezeichnen.$N$$\bar{N}$

(b) Es ist leicht zu erkennen, dass .$N(n)=\bar{N}(n)$

Der Grund ist folgender: Betrachten Sie einen Pfad vom Typ. Beginnend bei A ist dieser Weg von der Form ( A , . . . , X 1 , B , X 2 , . . . , C ) . Durch Ersetzen des Segments ( X 1 , B , X 2 ) durch ( X 1 , X 2 ) erhalten wir einen Pfad vom ˉ N- Typ. Diese Operation ordnet alle N eindeutig zu$N$$A$$(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$$(X_1,B,X_2)$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$N$Pfade bis Pfade.$\bar{N}$

(c) Wir leiten die Rekursion .$N(n+1)=2N(n)^3$

Betrachten wir ein -Typ - Weg von A nach B und bezeichnen die subtriangles an den äußeren Ecken A , B , C durch T A , T B , T C , respectively. Es ist klar, dass der Pfad vom N- Typ jedes Unterdreieck genau einmal ab T A über T B bis T C besucht . Betrachten wir nun den Knoten Z, an dem die Unterdreiecke T A und T $N$$A$$B$$A,B,C$$T_A,T_B,T_C$$N$$T_A$$T_B$$T_C$$Z$$T_A$$T_C$berühren. Es gibt zwei Möglichkeiten, wenn dieser Punkt durch den Pfad besucht wird, entweder (i) vor dem Verlassen oder (ii) nach der Eingabe von T C . In diesen Fällen sind die drei Teilstrecken innerhalb T A , T B , T C sind die Typen (i) N , N , ˉ N oder (ii) ˉ N , N , N , respectively. In diesem Sinne können wir zählen$T_A$$T_C$$T_A,T_B,T_C$ $N,N,\bar{N}$ $\bar{N},N,N$

und mit(b)man am oberen Rekursion ankommen.$N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$

(d) Wir lösen die Rekursion (c) mit und erhalten N ( n ) = 2 3 0 + 3 1 + . . . + 3 n - 2 .$N(1)=1$$N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$

(e) Betrachten Sie einen Hamilton-Zyklus im Graphen . Da jedes der drei Unterdreiecke nur über zwei Knoten mit den anderen verbunden ist, ist es klar, dass der Zyklus genau einmal über einen Verbindungsknoten in jedes Unterdreieck eintritt, es dann "füllt" und schließlich über den anderen Verbindungsknoten verlässt. Daher besteht der Hamilton-Zyklus in S n aus drei Unterpfaden vom N- Typ in den Unterdreiecken, die alle die Struktur von S n - 1 haben . Wir können für die Anzahl der Hamilton-Zyklen schließen$S_n$$S_n$$N$$S_{n-1}$

.$C(n) = N(n-1)^3$

Es folgt jedoch für $n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

wo letzteres laut der problemseite zu beschaffen ist (link oben).

Nochmals vielen Dank für jede Hilfe oder Kommentare.

$(b)$$(X_1,B,X_2)$$N$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$\bar{N}$$(X_1,X_2)$$N(n) \leq \bar{N}(n)$

Oder Sie können tatsächlich zeigen, dass , was zu N ( n + 1 ) = 3 N 3 führt .$\bar{N}(n) = 3N(n)/2$$N(n+1) = 3N^3$