Wie man die Schaltungsgröße mit der Laufzeit der Turingmaschine in Beziehung setzt

Von http://rjlipton.wordpress.com/2009/05/27/arithmetic-hierarchy-and-pnp/ ,

Definieren, $M_{[x,c]}$ als deterministische Turingmaschine, die an einer Eingabe wie folgt arbeitet $y$. Die Maschine behandelt als deterministisches Programm und simuliert bei Eingabe von . Gleichzeitig führt die Maschine einen Zähler aus, der nach den Schritten seine Ausführung stoppt . Wenn die Maschine akzeptiert, bevor der Zähler stoppt, akzeptiert sie; ansonsten lehnt es ab.$x$$x$$y$$|y|^c$

Sei die kleinste natürliche Zahl, so dass einen Fehler an der Eingabe . Wenn dann wahr ist, ist die Funktion immer definiert.$f(i,c)$$M_{[i,c]}$$y$$P \neq NP$$f(i,c)$

Satz: Angenommen, es gibt eine unendliche Anzahl von für die es ein so dass Dann hat SAT für unendlich viele die Schaltungsgröße .$i$$c$

$$f(i,c) > 2^{2^{|i|+c}}$$ $n$$n^{O(\log n)}$

Beweis: Sei und so, dass Definiere . Beachten Sie, dass höchstens . Dann ist für alle der Länge korrekt, da . Die Größe der Schaltung, die diese Turing-Maschine an Eingängen der Länge simuliert, ist in polynomisch , und die Laufzeit der Maschine. Die Maschine läuft per Definition in der Zeit$i>1$$c$

$$f(i,c) > 2^{2^{|i|+c}}$$ $n = 2^{|i|+c-1}$$c$$\log n$$M_{[i,c]}$$y$$n$$y \leq 2^n = 2^{2^{|i|+c-1}} < f(i,c)$$n$$|i|$$n$$|y|^c \leq n^c \leq n^{\log n}$

Ich verstehe diesen Teil nicht. Kann jemand dies erklären (um im Zitat anzugeben, dass „die Größe der Schaltung, die diese Turing-Maschine bei Eingaben der Länge simuliert, in , und der Laufzeit der Maschine polynomisch ist “)? (Die Frage ist also, wie wir die Laufzeit der Turing-Maschine mit der Größe der Schaltung in Beziehung setzen können.)$n$$|i|$$n$

Die Art und Weise, wie Schaltkreise TMs entsprechen, ist wie folgt: Für ein TM codieren Sie es binär (dh Zustände, Übergänge usw.).

Dann konstruieren Sie eine Schaltung, deren Gates die Übergänge zwischen jeder Konfiguration des TM darstellen. Da Konfigurationsübergänge lokal sind, benötigen Sie nur lokale Gates (dh Gates, die von einer konstanten Anzahl von Eingaben abhängen).

Die Idee ist, dass Sie die Konfiguration berechnen können $c_i$ von der Konfiguration $c_{i-1}$Aktualisieren Sie den Inhalt von 3 benachbarten Zellen und aktualisieren Sie sie entsprechend, wenn sich der Kopf der Maschine dort befindet. Es ist ziemlich technisch, formal zu schreiben, aber es ist ein allgemein einfacher Beweis (siehe "Computational Complexity" von Arora und Barak für einen Beweis).

Anhand dieses Beweises sehen Sie, dass die Größe der Schaltung in der Laufzeit der Maschine und der Eingangslänge polynomisch ist, da die Schaltung in "Ebenen" aufgebaut ist, wobei jede Ebene einer Konfiguration des TM entspricht.