Benötigen Sie eine seriöse Quelle für die Formel für die Form des Horizonts der Erde

Wonach ich bitte

Ich betone, dass ich nicht nach der Formel frage - ich kenne die Formel und weiß, wie ich sie ableiten kann. Gegen Ende des Beitrags werden mehrere verschiedene Versionen davon reproduziert. Tatsächlich hat es nicht nur jemand anderes abgeleitet, sondern auch eine der Ableitungen hier schön dargestellt .

Was ich brauche, ist eine seriöse Quelle für die Formel, damit man sie beispielsweise auf Wikipedia einstellen kann, ohne gegen das Verbot der Meldung von Originalrecherchen zu verstoßen . [Die Leute haben es tatsächlich versucht ... Aber der relevante Artikel hat einen gewissenhaften Redakteur, der den Abschnitt gelöscht hat, weil es sich um Originalrecherchen handelt es zu bekämpfen.]

Der Grund, warum ich in Computer Graphics StackExchange poste

Da hier jemand die Art und Weise modelliert haben könnte, wie die Erde vom Orbit aus aussieht, könnte er oder sie vielleicht wissen, ob diese Formel (oder wahrscheinlicher eine Verallgemeinerung davon) in einem Buch, einer Zeitschrift, einer Konferenz oder in Notizen veröffentlicht wurde , etc.

Ich habe das "Due Googeln" gemacht

Bitte haben Sie Verständnis dafür, dass ich niemanden auffordere, in meinem Namen nach der Antwort zu suchen. Ich habe bereits viel gegoogelt und poste hier nur als letzten Ausweg. Meine (weit hergeholte) Hoffnung ist, dass jemand hier einfach von Anfang an eine Referenz kennt ; wenn nicht ... naja, ich hoffe zumindest, dass dir das hübsche Bild unten gefallen hat (wenn ich das sage, spreche ich mit vollem Bewusstsein mit Leuten, die sich ausgerechnet für Computergrafik interessieren ), bevor du zu größer und besser gewechselt bist Dinge.

Zwei Quellen, die sich annähern

1. DK Lynch, "Visuelles Erkennen der Erdkrümmung", Applied Optics vol. 47, H39 (2008). Es ist frei verfügbar hier . Leider entschied sich der Autor für einen Hack, anstatt ihn richtig zu machen (was nicht so schwierig ist), was (a) ich nicht vollständig verstehe und (b) was nicht mit dem übereinstimmt, was ich weiß, dass es ist die richtige Formel.

2. R. Hartley und A. Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, 2. Aufl. (Cambridge University Press, Cambridge, Großbritannien, 2004). In Sec. 8.3, "Wirkung einer projektiven Kamera auf Quadrate", lesen wir :

Angenommen, das Quadrat ist eine Kugel, dann ist der Strahlenkegel zwischen Kameramitte und Quadrat rechtskreisförmig, dh der Konturgenerator ist ein Kreis, dessen Kreisebene orthogonal zur Verbindungslinie zwischen Kameramitte und Kugel ist. Dies ist aus der Rotationssymmetrie der Geometrie um diese Linie ersichtlich. Das Bild der Kugel wird erhalten, indem der Kegel mit der Bildebene geschnitten wird. Es ist klar, dass dies ein klassischer Kegelschnitt ist, so dass die scheinbare Kontur einer Kugel ein Kegel ist.

Im Prinzip wäre dies genau das, was benötigt wird, wenn nur ein bisschen mehr Informationen enthalten wären - zumindest ein Ausdruck für die Exzentrizität des Kegels als Funktion des Abstands zur Kugel und des Kugelradius (in diesem Fall) wenn die Bildebene senkrecht zu einer Generatrix des Kegels ist, wie es der Fall ist, wenn die Lochkamera auf einen Punkt am Horizont gerichtet ist).

Details zu der Formel, für die ich eine wissenschaftliche Referenz benötige

Wir gehen von einer vollkommen kugelförmigen, vollkommen glatten Erde ohne Atmosphäre aus. Wir richten eine idealisierte Lochkamera auf den Horizont und berechnen mit einer einfachen Mittelprojektion die Form des Horizontbildes auf der Rückseite der Kamera (dh die Form, die es auf dem Film haben wird - die "Filmebene"). . Hier ist eine Grafik ( für Interessierte in Asymptote erstellt ), die dies verdeutlichen soll:

Wie wir oben gesehen haben, ist das Bild des Horizonts ein Teil eines konischen Abschnitts. Lassen die Exzentrizität des konischen sein; Die oben erwähnte Herleitung verwendet stattdessen einen Parameter , der nur die inverse Exzentrizität ist: . Die Exzentrizität selbst ist gegeben als , wobei das Verhältnis der Höhe der Lochblende über der Erdoberfläche und der Erde ist Radius . [Anstelle von , dem Verhältnis der Höhe zu , kann es nützlich sein,$\varepsilon$$k$$k=1/\varepsilon$$\varepsilon=1/\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)}$$\epsilon=h/R$$h$$R$$\epsilon$$R$$\eta$, das Verhältnis des Abstandes der Lochblende zum Erdmittelpunkt , , zum Erdradius: . In Bezug auf haben wir .]$h+R$$\eta=(R+h)/R=1+\epsilon$$\eta$$\varepsilon=1/\sqrt{\eta^{2}-1}$

Der Abstand von der Lochblende (Punkt in der Grafik) zur Filmebene wird als eine Längeneinheit angenommen.$P$

Die Achse in der Filmebene ist so gewählt, dass sie parallel zu der Linie ist, die den Mittelpunkt der Erde (im Bild nicht gezeigt) und den Punkt am Horizont ( im Bild mit ) verbindet, an dem die Kamera trainiert wird. Diese Wahl ist gut definiert, da die Linie parallel zur Filmebene sein muss. Der Grund dafür ist, dass sowohl als auch die Filmebene senkrecht zur Sichtlinie (der Linie, die und ) sind. Und das liegt daran, dass 1. die Linie bei , also senkrecht zu , tangential zur Erde verläuft und 2.$y$$C$$V$$CV$$CV$$PV$$P$$V$$PV$$V$$CV$$PV$ist senkrecht zur Filmebene, da die Kamera bei trainiert ist . Die x- Achse steht natürlich senkrecht zur y- Achse und liegt in der Filmebene, und der Ursprung wird als Projektion des Punktes V gewählt .$V$$x$$y$$V$

Mit diesen Definitionen sind wir bereit, eine Darstellung des kegelförmigen Abschnitts aufzuschreiben, der das Bild des Erdhorizonts darstellt. Dies kann auf viele Arten geschrieben werden, von denen einige unten angegeben sind. Was ich brauche, ist eine seriöse Referenz für eine dieser Formeln oder für eine ihnen äquivalente Formel.

1. Die in der oben erwähnten Ableitung angegebene explizite Formel

Die oben erwähnte Ableitung gibt dies als endgültige Version an:

$[\,y\,(1/\varepsilon-\varepsilon)-1\,]^{2}+x^{2}(1/\varepsilon^{2}-1)=1.$

Lassen Sie uns dies auf ein paar zusätzliche Arten darstellen.

2. Ausdruck in Form der kanonischen Gleichung eines Kegelschnittes

In diesem Fall hat die Gleichung folgende Form :

,$x^2=2\mu y-(1-\varepsilon^{2}) y^2$

wobei in unserem Fall .$\mu=\varepsilon$

Der Vorteil der kanonischen Form ist, dass sie alle Kegel auf gleicher Augenhöhe behandeln kann, insbesondere auch die Parabel . In der "Standard" -Formulierung (siehe unten) kann der Fall der Parabel nur behandelt werden, indem der Grenzwert & epsi; → 1 genommen wird .$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

Details: Die obige Formel gilt für den Fall, dass ein rechter Kreiskegel, dessen Seiten einen Winkel von einschließen , in einem Abstand d vom Scheitelpunkt des Kegels von einer Ebene in einem Winkel ω relativ geschnitten wird zur Kegelachse. (Zur Verdeutlichung: d ist der Abstand vom Kegelscheitelpunkt zum Punkt auf der Ellipse, der dem Kegelscheitelpunkt am nächsten liegt; dieser Punkt ist immer eines der Enden der Hauptachse der Ellipse). In diesem allgemeinen Fall wird die Exzentrizität als gegeben ε = cos ω / cos θ , während μ = d ( ε - cos |$2\theta$$d$$\omega$$d$$\varepsilon=\cos \omega/\cos \theta$ .$\mu=d(\varepsilon-\cos|\omega+\theta|)$

In Bezug auf die obige Grafik: ist der Abstand von P zur Filmebene (dh der Abstand entlang der gepunkteten roten Linie); θ ist der Winkel zwischen der gepunkteten roten Linie und der Achse des Kegels (die Linie, die P und den Erdmittelpunkt verbindet - die Verlängerung der schwarzen Linie mit der Bezeichnung h in der Grafik); der Winkel ω ist der Winkel zwischen der Kegelachse und der Filmebene.$d$$P$$\theta$$P$$h$$\omega$

$\omega+\theta=\pi/2$$d=1$$\mu=\varepsilon$

3. Ausdruck in der "Standardform" eines Kegelschnittes

Diese Form ist vielleicht die bekannteste:

$\frac{(x-x_{0})^{2}}{p^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{q^2}=1$

Es hängt wie folgt mit den Parametern zusammen, die in die kanonische Gleichung (siehe 2. oben) eingegeben werden:

$x_{0}=0$

$y_{0}=q=\frac{\mu}{1-\varepsilon^{2}}$$\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}$$y_{0}=q$

$p=q\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}=\frac{\mu}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$$\frac{\varepsilon}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$

$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

4. Ausdruck in Form einer parametrischen Kurve

$x=\frac{(\epsilon+1) \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\epsilon(\epsilon+2)}$

$y=\frac{\sqrt{\epsilon (\epsilon+2)} (\sin (\alpha )-1)}{\sin (\alpha )+\epsilon (\epsilon+2)},$

$\alpha$$\alpha=\pi/2$$V$

Informationen zur Verwendung dieser Formeln finden Sie hier .

Abschließend...

Hat jemand die obigen Formeln in einer seriösen Quelle gesehen, möglicherweise im Zusammenhang mit der Modellierung, wie die Erde vom Weltraum aus aussieht? Wenn ja, können Sie mir mitteilen, um welche Quelle es sich handelt?

Vielen Dank!

Die Kurve, die Sie suchen, ist nur der Schnittpunkt einer Ebene (der Rückseite der Kamera) und eines rechten Kreiskegels. Dies ist nicht wirklich eine Frage der Erde oder der Ansichten von Planeten aus dem Weltraum; Es ist einfach eine einfache 3D-Koordinatengeometrie. Um eine Referenz zu finden, würde ich empfehlen, nach "Schnittpunkt einer Ebene und eines Kegels" oder "ebenen Abschnitten eines Kegels" oder "ebenen Abschnitten eines Quadrats" zu suchen.

Ich würde erwarten, dass Sie die relevanten Formeln (und Ableitungen) in jedem Standardtext zur 3D-Koordinatengeometrie finden können. Einige wahrscheinliche Orte sind:

• Lachs - Eine Abhandlung über die analytische Geometrie von drei Dimensionen
• Somerville - Analytische Geometrie dreidimensionaler Dimensionen
• Snyder und Sisam - Analytische Geometrie des Raumes

Dies sind alles hübsche alte Bücher, und Sie können Probleme haben, sie zu finden.

Sie können auch versuchen, auf Math.StackExchange zu fragen.

Die Herleitung "Originalforschung" zu nennen, erscheint mir absurd. Es ist ein Problem der Hausaufgaben in der analytischen Geometrie.