Meine Intuition war immer, dass, wenn eine Kugel in den 2D-Raum projiziert wird, das Ergebnis mathematisch immer eine Ellipse ist (oder ein Kreis in entarteten Fällen).

In der Vergangenheit, als ich aktiv meine eigene Grafikprogrammierung machte und mit anderen Leuten darüber sprach, waren sie überzeugt, dass ich falsch lag. Wenn ich mich richtig erinnere, glaubten sie, dass das Ergebnis etwas vage "eiförmiges" sein könnte.

Wer hat Recht?

Da es bereits eine Antwort gibt, möchte ich meine Frage nicht komplett ändern, aber mir ist klar, dass ich wichtige Details ausgelassen habe, weil ich über die Jahre die Vertrautheit mit dem Gebiet verloren habe.

Ich wollte speziell nach perspektivischer Projektion fragen, bei der die Projektion eine lineare Anwendung ist .

Die anderen Projektionen sind natürlich für viele Zwecke interessant, so dass ich sie an dieser Stelle nicht entfernen möchte. Aber es wäre großartig, wenn die Antworten eine perspektivische Projektion als wichtigsten Abschnitt hätten.

Nimmt man eine perspektivische Projektion und einen Blickpunkt außerhalb der Kugel an, dann ist die 'Grenze', die durch den Blickpunkt und den Kreis auf der Kugel, der den Horizont bildet, als Blickpunkt definiert wird, ein Kegel.

Eine perspektivische Projektion (auf eine Ebene) ist dann gleichbedeutend damit, diesen Kegel mit der Ebene zu schneiden, wodurch ein Kegelschnitt entsteht. Zu Ihrer Information: Die vier nicht entarteten Fälle sind in diesem Bild aus Wikipedia dargestellt

Eine Ellipse / ein Kreis ist also eine Möglichkeit, aber nicht die einzige - unbegrenzte Parabel oder Hyperbel (und ich denke, wenn die Ebene durch das Auge geht, sind sogar entartete Fälle möglich).

Dies ist eher ein langer Kommentar zu @ SimonFs Antwort, dass ich versuche, etwas eigenständiges zu machen.

Alle Kegelschnitte sind möglich, Hyperbel, Parabel und Ovale. Dies ist einfach zu testen, indem Sie Bilder in einer 3D-Engine mit einer extremen Weitwinkelkamera zeichnen. Drehen Sie die Kamera um 30 Grad, damit sich das Objekt nicht in der Mitte Ihres Fokus befindet. Bewegen Sie die Kamera dann allmählich näher an die Kugel.

Bild 1: Ganz in der Nähe einer Kugel fliegen, die leicht seitwärts schaut. Beachten Sie, wie wir plötzlich die Oberflächenform im Inneren durchstoßen.

Wenn die Kugel also sehr nah ist und das Bild in einem weiten Bild verlässt, kann es sich um eine Parabel oder eine Hyperbel handeln. Die Form verlässt jedoch nur den Rahmen, um dies zu tun.

Projektionssysteme werden verwendet, um eine 3D-Form in eine planare (2D) Form umzuwandeln.

Je nach Art des Projektionssystems können unterschiedliche Ergebnisse und Formen wie Rechtecke, Torten, Ellipsen, Kreise usw. aus einer Kugel erzeugt werden.

Projektionssysteme können anhand der Eigenschaften des von ihnen erzeugten Ergebnisses klassifiziert werden.

Um fortzufahren, möchte ich ein sehr berührbares und allgemeines Beispiel verwenden, das wir alle zuvor gesehen haben: Erdkugel- und weltweite Karten, sie sind überall.

Angenommen, Ihre Kugel ist die Erde!

Stellen Sie sich die Erde als Ihre Kugel und eine planare Weltkarte vor, die aus der Kugelform der Erde erstellt wird. Auf den meisten Weltkarten sehen Sie, dass die Länder in der Nähe der Pole viel größer werden als in der Realität, wie beispielsweise Island, das in Wirklichkeit 1/14 des afrikanischen Kontinents darstellt, aber auf der Karte sind beide gleich. Dies liegt daran, dass wir eine Eigenschaft unserer Formen verlieren, wenn wir eine Dimension weglassen.

Verschiedene Projektionssysteme und deren Ergebnisse

Dies ist eine ebene Projektion, bei der weder Abstand noch Winkel oder Fläche erhalten bleiben. Die roten Kreise zeigen den Betrag der Übertreibung, der das Produkt dieser Projektion ist.

Gleiche Fläche, schauen Sie sich Island und Afrika in diesem an und vergleichen Sie mit oben.

Projektionssysteme können nach dem klassifiziert werden, was sie erhalten.

1. Gleiche Fläche.
2. Gleicher Winkel, der die Form ohne Verzerrung beibehält (konform).
3. Gleicher Abstand.
4. ......

Bei konformen Projektionen bleiben die Formen erhalten, aber der Bereich bleibt nicht erhalten (das erste Bild oben). Dies ist das bekannteste Projektionssystem, das in vielen Anwendungen verwendet wird. Deine Kugel ist hier ein Rechteck!

Man kann also nicht sagen, dass eine Kugel immer auf eine Ellipse projiziert wird. Wie oben erwähnt, kann eine Kugel auf ein Rechteck projiziert werden (erste Form) oder eine Ellipse mit unterschiedlichen Eigenschaften (gleicher Winkel, Abstand, Form, Fläche - siehe folgendes Bild), oder Sie projizieren eine Kugel in einen Kegel und dann öffnen Sie den Kegel, so dass Sie einen Kuchen haben.

Jedes der obigen Projektionssysteme kann mit iterativen oder direkten Algorithmen angewendet werden, die im Internet zu finden sind. Ich habe nicht über die Formel und Transformationen gesprochen, weil Sie nicht gefragt haben. Obwohl ich möchte, dass Sie diese Antwort nützlich finden.

In perspektivischen Projektionen sage ich ja, es werden nur Ellipsen aus Kugeln erzeugt

Wenn Sie einen Kegel mit einer horizontalen Ebene schneiden, entsteht ein Kreis.

Wenn Sie mit einer schrägen Ebene schneiden, wird eine Abschrägung erzeugt, die je nach Schnittwinkel eine Ellipse oder eine Hyperbel ist. Wenn dieser Winkel vertikal ausgerichtet ist, wird eine Parabel erzeugt (folgendes Bild).

Vielleicht ist dies offensichtlich, aber werfen Sie einen Blick auf ihre Gleichungen.

Der Einfachheit halber habe ich angenommen, dass alle Geometrien herkunftszentriert sind.

Gleichungen:

$x^2+y^2=r^2$

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$

$x^2/a^2-y^2/b^2=1$

$y^2=4ax$

Morphologie:

Eine Ellipse hat offensichtlich zwei Schwerpunkte. Ein Kreis als spezielle Art der Ellipse hat ebenfalls zwei Schwerpunkte, die jedoch zusammenfallen. Eine Hyperbel ist jedoch ein Achsenspiegel der gleichen Ellipse und hat auch zwei Brennpunkte. Eine Parabel hat einen Fokus, aber tatsächlich zwei, weil der zweite im Unendlichen liegt: Wenn die Schnittebene auf 90 Grad geneigt ist (Peilwinkel), geht der zweite Fokus ins Unendliche.

Fazit

Wie Sie sehen, sind alle Ellipsen, Sie können sie jedoch auch anders benennen, um Sonderfälle zu beschreiben. Wenn Sie sie jedoch in einem Spiel implementieren möchten, müssen Sie eine Ellipsengleichung annehmen, die ausreicht. Ich kann nicht sagen, wer von euch Recht hat, du oder dein Freund, weil beide Recht haben könnten.

Die Überlegungen von SimonF haben mich grundsätzlich überzeugt, aber ich habe mich für eine Überprüfung der geistigen Gesundheit entschieden. Ich habe eine UE4-Ebene geladen, die zufällig einige Kugeln enthält, wie diese:

Ich habe das Sichtfeld der Kamera auf 160 Grad eingestellt, um eine starke perspektivische Verzerrung zu erzielen, und es so positioniert, dass sich die Kugel in der Nähe der Bildecke befindet:

Dann habe ich dies in Inkscape aufgenommen und mit dem Ellipsenwerkzeug gezeichnet:

Überraschung! Es ist eine perfekte Passform!

Beim einmaligen Schneiden einer Kugel entstehen keine Parabeln oder Hyperbeln. Es gibt auch keine Ellipsen mit Ausnahme des Sonderfalls, bei dem es sich um einen Kreis handelt. Das Ergebnis ist immer ein Kreis. Wenn Sie die Kugel auf eine geneigte Ebene projizieren, erhalten Sie eine Ellipse