Sei zeine komplexe Zahl. zist eine n-te primitive Wurzel der Einheit, wenn für eine bestimmte positive ganze Zahl n und für jede positive ganze Zahl k < n .

Herausforderung

Schreiben Sie ein vollständiges Programm oder eine vollständige Funktion, die bei einer positiven Ganzzahl nals Eingabe alle n-ten primitiven Wurzeln der Einheit ausgibt. Sie können sie in polarer Form ausgeben ( e^θioder das e^iθArgument sollte eine Dezimalzahl mit mindestens 2 Dezimalstellen sein) oder in rechteckiger Form ( a + bioder in ähnlicher Form sollten Real- und Imaginärteile auch Dezimalstellen sein), und sie können in der Liste Ihrer Sprache ausgegeben werden / Array-Format oder als Zeichenfolge, wobei die Zahlen durch Leerzeichen oder Zeilenumbrüche getrennt sind. Eingebaute, die die n-ten Wurzeln der Einheit oder die n-ten primitiven Wurzeln der Einheit berechnen, sind nicht zulässig.

Dies ist Code-Golf , also gewinnt der kürzeste Code in Bytes.

Beispiel für Ein- und Ausgänge

6 -> e^1.05i, e^-1.05i # polar form
3 -> e^2.094395i, e^-2.094395i # any number of decimal places is OK as long as there are more than 2
8 -> 0.707 + 0.707i, 0.707 - 0.707i, -0.707 + 0.707i, -0.707 - 0.707i # rectangular form
1 -> 1 + 0i # this is OK
1 -> 1 # this is also OK
4 -> 0 + i, 0 - i # this is OK
4 -> i, -i # this is also OK

Gelee, 11 9 Bytes

Danke an @Dennis für -2 Bytes!

Rg=1O÷H-*

Ich wollte die Zahlen koprime zu N erzeugen, indem ich die Mengenunterschiede über alle Wurzeln der Einheit von 1 nach N faltete, aber ich konnte nicht herausfinden, wie ich die Methode von @ Dennis verwendete.

Rg=1O÷H-*         Monadic chain:          6
R                 Range                   [1,2,3,4,5,6]
 g                Hook gcds with range    [1,2,3,2,1,6]
  =1              [gcds equal to one]     [1,0,0,0,1,0]
    O             Replicate indices       [1,5]
     ÷H           Divide by half of N     [1/3,5/3]
       -          Numeric literal: - by itself is -1.
        *         Take -1 to those powers [cis π/3,cis 5π/3]

Probieren Sie es hier aus . Gültig in dieser Version von Jelly, jedoch möglicherweise nicht in Versionen nach dem 1. Februar 2016.

Gelee , 14 Bytes

Rg=1O°÷×ı360Æe

Probieren Sie es online aus!

Wie es funktioniert

z = e ^2tπi ist ^genau dann eine n- ^te Wurzel von 1, wenn t = k / n für eine ganze Zahl k ist .

z ist genau dann primitiv, wenn k und n Koprime sind.

Rg=1O°÷×ı360Æe  Main link. Input: n

R               Yield [1, ..., n].
 g              Compute the GCDs of reach integer and n.
  =1            Compare the GCDs with 1.
    O           Get all indices of 1's.
                This computes all the list of all k in [1, ..., n] 
                such that k and n are coprime.
     °          Convert the integers to radians.
      ÷         Divide the results by n.
       ×ı360    Multiply the quotient by the imaginary number 360i.
            Æe  Map exp over the results.

Julia, 48 Bytes

n->cis(360deg2rad(filter(k->gcd(k,n)<2,1:n))/n)

Dies ist eine Lambda-Funktion, die eine Ganzzahl akzeptiert und ein Array komplexer Floats zurückgibt. Um es aufzurufen, weisen Sie es einer Variablen zu. Es verwendet den gleichen Ansatz wie Dennis 'Jelly-Antwort.

Ungolfed:

function f(n::Int)
    # Get the set of all k < n : gcd(k,n) = 1
    K = filter(k -> gcd(k,n) < 2, 1:n)

    # Convert these to radian measures
    θ = deg2rad(K)

    # Multiply by 360, divide by n
    θ = 360 * θ / n

    # Compute e^iz for all elements z of θ
    return cis(θ)
end

Ruby, 46 Bytes

Dies ist eine nicht "Golfsprache" Implementierung von Thomas Kwas Jelly Antwort.

->n{(1..n).map{|j|1i**(4.0*j/n)if j.gcd(n)<2}}

Ungolfed:

def r(n)
  (1..n).each do |j|
    if j.gcd(n) == 1    # if j is coprime with n, then this will be a primitive root of unity
      p 1i**(4.0*j/n)   # print the fourth power of i**(j/n), i.e. the root of unity
    end
  end
end

MATL , 27 Bytes

:1-tGYf1X-!\Xpg)2j*YP*G/Ze!

Verwendet Release (9.3.1) , das früher als diese Herausforderung ist.

Probieren Sie es online aus!

(Der Online-Compiler verwendet eine neuere Version, aber der Code wird in Version 9.3.1 ausgeführt und liefert das gleiche Ergebnis.)

Erläuterung

Es gibt drei Hauptschritte:

1. Generieren ganze Zahlen 0, 1, ..., N-1an alle Wurzeln entspricht.
2. Behalten Sie nur Ganzzahlen bei, die primitiven Wurzeln entsprechen. Diese werden anhand der Primfaktor-Zerlegung von identifiziert N.
3. Generieren Sie die tatsächlichen Wurzeln mit einem imaginären Exponential.

Code:

:1-           % 1. Implicit input "N". Produce vector [0,1,...,N-1]
t             %    duplicate
GYf           % 2. Prime factors of N
1X-           %    remove factor "1" if present (only if N==1)
!\            %    all combinations of [0,1,...,N-1] modulo prime factors of N
Xpg           %    logical "and" along the prime-factor dimension
)             %    index into original vector [0,1,...,N-1] to keep only primitive roots
2j*YP*G/Ze    % 3. Imaginary exponential to produce those roots
!             %    transpose for better output format

Matlab 49 Bytes

n=input('');q=0:n-1;exp(i*2*pi/n.*q(gcd(n,q)==1))

Ich habe die Aufgabe beim ersten Mal nicht bekommen, aber jetzt ist sie da. Ausgaben wie folgt:

6
ans =
    0.5000 + 0.8660i   0.5000 - 0.8660i

ES6, 96 Bytes

n=>[...Array(n).keys()].filter(i=>g(i,n)<2,g=(a,b)=>a?g(b%a,a):b).map(i=>'e^'+Math.PI*2*i/n+'i')

Die polare Form war die kürzeste Ausgabe.

PARI / GP, 41 Bytes

Ziemlich einfach: Finden Sie dann die Zahlen von 1 bis n, die koprime zu n sind

n->[exp(2*Pi*I*m/n)|m<-[1..n],gcd(n,m)<2]

Es muss einen kürzeren Weg geben, aber das war der beste, den ich finden konnte.