Berechnen Sie die p-adische Norm einer rationalen Zahl
Schreiben Sie eine Funktion oder ein Programm, das 3 Ganzzahlen m,n,p(wobei peine positive Primzahl ist) als Eingabe verwendet und die p-adische Norm (bezeichnet mit |m/n|_p) als (vollständig reduzierten) Bruch ausgibt . Es ist bekannt, dass Fermat nur sehr kleine Ränder hat, aber was eher unbekannt ist, ist, dass er nur einen sehr kleinen Computerbildschirm hatte. Versuchen Sie also, den Code so kurz wie möglich zu halten, damit er auf den Bildschirm von Fermat passt!
Definition
Bei einer gegebenen Primzahl pkann jeder Bruch m/neindeutig als (a/b)* p^esolcher geschrieben werden (wobei die Vorzeichen ignoriert werden) , der eeine ganze Zahl ist und pweder anoch teilt b. Die p-adische Norm von m/nist p^-e. Es gibt einen Sonderfall, wenn der Bruch 0 ist : |0|_p = 0.
Das Ausgabeformat muss sein x/y(z 1/3. B. für ganze Zahlen ist beides 10oder gleichwertig 10/1zulässig, für negative Zahlen muss ein führendes Minus vorhanden sein, z. B. -1/3)
Einzelheiten
Das Programm muss stdin / stdout verwenden oder nur aus einer Funktion bestehen, die die rationale Zahl oder Zeichenfolge zurückgibt. Sie müssen davon ausgehen, dass die Eingabe m/nnicht vollständig reduziert ist. Sie können davon ausgehen, dass dies peine Primzahl ist. Das Programm muss Ganzzahlen zwischen -2^28bis zu 2^2810 Sekunden verarbeiten können und sollte nicht länger als 10 Sekunden dauern.
Eingebaute Faktorisierungs- und Prime-Checking-Funktionen sind nicht zulässig, ebenso wie eingebaute Basiskonversationen und eingebaute Funktionen, die die p-adische Bewertung oder Norm berechnen.
Beispiele (aus Wikipedia gestohlen ):
x = m/n = 63/550 = 2^-1 * 3^2 * 5^-2 * 7 * 11^-1
|x|_2 = 2
|x|_3 = 1/9
|x|_5 = 25
|x|_7 = 1/7
|x|_11 = 11
|x|_13 = 1
Interessante Trivia
(Nicht notwendig, um diese Herausforderung zu kennen / zu lesen, aber vielleicht schön als Motivation zu lesen.)
(Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich die falschen Wörter verwende oder etwas anderes nicht stimmt. Ich bin es nicht gewohnt, auf Englisch darüber zu sprechen.)
Wenn Sie die rationalen Zahlen als Feld betrachten, induziert die p-adische Norm die p-adische Metrik d_p(a,b) = |a-b|_p. Dann können Sie füllen Sie dieses Feld im Hinblick auf diese Metrik, das bedeutet Sie ein neues Feld erstellen können , in der alle Cauchyfolgen zusammenlaufen, was eine nette topologische Eigenschaft ist zu haben. (Was zB die rationalen Zahlen nicht haben, aber die Realzahlen.) Diese p-adischen Zahlen werden, wie Sie vielleicht vermutet haben, häufig in der Zahlentheorie verwendet.
Ein weiteres interessantes Ergebnis ist der Satz von Ostrowski, der im Grunde besagt, dass jeder absolute Wert (wie unten definiert) für die rationalen Zahlen einer der folgenden drei ist:
- Das Triviale:
|x|=0 iff x=0, |x|=1 otherwise - Der Standard (echt):
|x| = x if x>=0, |x| = -x if x<0 - Das p-adic (wie wir es definiert haben).
Ein absoluter Wert / eine Metrik ist nur die Verallgemeinerung dessen, was wir als Entfernung betrachten . Ein absoluter Wert |.|erfüllt folgende Bedingungen:
|x| >= 0 and |x|=0 if x=0|xy| = |x| |y||x+y| <= |x|+|y|
Beachten Sie, dass Sie Metriken leicht aus absoluten Werten erstellen können und umgekehrt: |x| := d(0,x)oder d(x,y) := |x-y|, sie sind also fast gleich, wenn Sie addieren / subtrahieren / multiplizieren können ( dh in integralen Domänen). Ohne diese Struktur können Sie natürlich eine Metrik für allgemeinere Mengen definieren.
|x|_11 = 11, oder? Oder ist alles in 11Ordnung? Und muss es den x=0Fall behandeln?
x=0Fall und für dieses Beispiel können Sie die Ausgabe 11als auch 11/1, aber Sie nicht drucken müssen |x|_11.
PadicNormFunktion ist auch aus? : P