Definition

Eine positive ganze Zahl nist eine praktische Zahl (OEIS-Sequenz A005153 ), wenn alle kleineren positiven ganzen Zahlen als Summen verschiedener Teiler von dargestellt werden können n.

Ist beispielsweise 18eine praktische Zahl: Die Teiler sind 1, 2, 3, 6, 9 und 18, und die anderen positiven ganzen Zahlen kleiner als 18 können wie folgt gebildet werden:

 4 = 1 + 3          5 = 2 + 3           7 = 1 + 6
 8 = 2 + 6          10 = 1 + 9         11 = 2 + 9
12 = 3 + 9 = 1 + 2 + 9 = 1 + 2 + 3 + 6
13 = 1 + 3 + 9      14 = 2 + 3 + 9      15 = 6 + 9
16 = 1 + 6 + 9      17 = 2 + 6 + 9

Dies 14ist jedoch keine praktische Zahl: Die Teiler sind 1, 2, 7 und 14, und es gibt keine Teilmenge davon, die zu 4, 5, 6, 11, 12 oder 13 addiert.

Herausforderung

Schreiben Sie ein Programm, eine Funktion oder ein Verb, das eine positive Ganzzahl als Eingabe verwendet xund entweder die x- ^te praktische Zahl zurückgibt oder ausgibt , die aus Gründen der Konsistenz mit OEIS von 1 indexiert wird. Ihr Code muss so effizient sein, dass er auf einem vernünftigen Desktop-Computer Eingaben von bis zu 250000 in weniger als zwei Minuten verarbeiten kann. (Hinweis: Meine Referenzimplementierung in Java verwaltet 250000 in weniger als 0,5 Sekunden und meine Referenzimplementierung in Python in 12 Sekunden.)

Testfälle

Input        Expected output
1            1
8            18
1000         6500
250000       2764000
1000000      12214770
3000000      39258256

J (99 Zeichen)

f=:3 :0
'n c'=.0 1
while.c<y do.
'p e'=.__ q:n=.n+2
c=.c+*/(}.p)<:}:1+*/\(<:p^e+1)%<:p
end.
n+n=0
)

Da die Problemstellung nach einem "Programm, einer Funktion oder einem Verb " fragt , musste jemand eine J-Vorlage machen. J Leute werden feststellen, dass ich nicht wirklich Golf (!) Gespielt oder dies optimiert habe. Wie bei den anderen Einträgen habe ich Stewarts Theorem verwendet, das im OEIS-Link erwähnt wurde, um zu testen, ob jede gerade Zahl praktisch ist oder nicht.

Ich habe keinen sofortigen Zugriff auf einen "vernünftigen Desktop-Computer", auf dem J installiert ist. Auf meinem sechs Jahre alten Netbook f 250000rechnet das in 120,6 Sekunden, was nicht ganz unter zwei Minuten liegt, aber vermutlich auf jedem etwas vernünftigeren Computer mit der Zeit erledigt.

Mathematica, 126 121 Zeichen

Dank an Belisarius.

Verwendung der Formel auf Wikipedia.

f=(i=j=1;While[j<#,If[And@@Thread[#[[;;,1]]<2+Most@DivisorSum[FoldList[#Power@@#2&,1,#],#&]&@FactorInteger@++i],j++]];i)&

Beispiele:

f[1]

1

f[8]

18

f[250000]

2764000

Es dauerte 70er Jahre, um f[250000]auf meinem Computer zu rechnen .

Haskell - 329

s 1=[]
s n=p:(s$div n p)where d=dropWhile((/=0).mod n)[2..ceiling$sqrt$fromIntegral n];p=if null d then n else head d
u=foldr(\v l@((n,c):q)->if v==n then(n,c+1):q else(v,1):l)[(0,1)]
i z=(z<2)||(head w==2)&&(and$zipWith(\(n,_)p->n-1<=p)(tail n)$scanl1(*)$map(\(n,c)->(n*n^c-1)`div`(n-1))n)where w=s z;n=u w
f=((filter i[0..])!!)

Beispiele:

> f 1
1
> f 13
32
> f 1000
6500

Hier ist eine kleine Testsuite (voranstellen):

import Data.Time.Clock
import System.IO

test x = do
    start <- getCurrentTime
    putStr $ (show x) ++ " -> " ++ (show $ f x)
    finish <- getCurrentTime
    putStrLn $ " [" ++ (show $ diffUTCTime finish start) ++ "]"

main = do
    hSetBuffering stdout NoBuffering
    mapM_ test [1, 8, 1000, 250000, 1000000, 3000000]

Testergebnisse nach der Zusammenstellung mit ghc -O3:

1 -> 1 [0.000071s]
8 -> 18 [0.000047s]
1000 -> 6500 [0.010045s]
250000 -> 2764000 [29.084049s]
1000000 -> 12214770 [201.374324s]
3000000 -> 39258256 [986.885397s]

Javascript, 306 307 282B

function y(r){for(n=r-1,k=1;n;k++)if(p=[],e=[],c=0,P=s=1,!((x=k)%2|1==x)){while(x>1){for(f=x,j=2;j<=Math.sqrt(f);j++)if(f%j==0){f=j;break}f!=p[c-1]?(p.push(f),e.push(2),c++):e[c-1]++,x/=f}for(i=0;c>i;i++){if(p[i]>P+1){s=0;break}P*=(Math.pow(p[i],e[i])-1)/(p[i]-1)}s&&n--}return k-1}

250k in ca. 6s auf meinem Laptop.

Kommentierter Code ohne Golfspiel: http://jsfiddle.net/82xb9/3/ jetzt mit besseren Sigma-Tests und einer besseren If-Bedingung (danke Kommentare)

Pre-Edit-Versionen: http://jsfiddle.net/82xb9/ http://jsfiddle.net/82xb9/1/