Regeln

Sie werden mit nur zwei Elementen beginnen: Punkte und , so dass . Diese Punkte besetzen eine Ebene, die in alle Richtungen unendlich ist.$A$$B$$A \neq B$

In jedem Schritt des Prozesses können Sie eine der drei folgenden Aktionen ausführen:

1. Zeichnen Sie eine Linie, die durch zwei Punkte verläuft.

2. Zeichnen Sie einen Kreis, der an einem Punkt zentriert ist, sodass ein anderer Punkt auf dem Kreis liegt.

3. Fügen Sie einen neuen Punkt hinzu, an dem sich zwei Objekte (Linien und Kreise) schneiden.

Ihr Ziel ist es, 5 Punkte so zu erstellen, dass sie die Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks bilden (ein konvexes Polygon mit 5 gleich langen Seiten), wobei möglichst wenige Kreise verwendet werden. Sie können natürlich andere Punkte haben, aber 5 davon müssen für ein normales Fünfeck. Sie müssen nicht die Kanten des Fünfecks zeichnen, um Punkte zu erzielen.

Wertung

Wenn man zwei Antworten vergleicht, ist diejenige besser, die weniger Kreise zeichnet. Bei einem Gleichstand in Kreisen ist die Antwort, die die wenigsten Linien zeichnet, besser. Bei einem Gleichstand in beiden Kreisen und Linien ist die Antwort mit den wenigsten Punkten besser.

Anti-Regeln

Die Regelliste ist zwar vollständig und enthält Details, aber alles, was Sie in dieser Liste tun können, bedeutet nicht, dass Sie es können, nur weil ich nicht sage, dass Sie etwas nicht tun können.

• Sie können keine "willkürlichen" Objekte erstellen. Einige Konstruktionen, die Sie finden, können einen Punkt an einem "beliebigen" Ort hinzufügen und von dort aus arbeiten. Sie können keine neuen Punkte an anderen Stellen als an Schnittpunkten hinzufügen.

• Sie können keinen Radius kopieren. Bei einigen Konstruktionen muss ein Kompass auf einen Radius zwischen zwei Punkten eingestellt werden. Dann wird er aufgenommen und an einer anderen Stelle ein Kreis gezeichnet. Du kannst das nicht machen.

• Sie können keine einschränkenden Prozesse ausführen. Alle Konstruktionen müssen eine endliche Anzahl von Schritten umfassen. Es ist nicht gut genug, sich der Antwort asymptotisch zu nähern.

• Sie können einen Bogen oder einen Teil eines Kreises nicht zeichnen, um zu vermeiden, dass er in Ihrer Wertung als Kreis gezählt wird. Wenn Sie beim Anzeigen oder Erläutern Ihrer Antwort Bögen visuell verwenden möchten, weil diese weniger Platz beanspruchen, gelten sie jedoch als Kreis für die Bewertung.

Werkzeuge

Sie können das Problem in GeoGebra durchdenken . Gehen Sie einfach zur Registerkarte "Formen". Die drei Regeln entsprechen dem Punkt, der Linie und dem Kreis mit den Mittelwerkzeugen.

Beweislast

Dies ist Standard, aber ich möchte noch einmal wiederholen. Wenn eine Frage dahingehend gestellt wird, ob eine bestimmte Antwort gültig ist, muss der Antwortende nachweisen, dass seine Antwort gültig ist, und nicht die Öffentlichkeit, dass die Antwort nicht gültig ist.

Was macht das auf meiner Code-Golf Seite ?!

Dies ist eine Form des Atomic-Code-Golfs , die dem Proof -Golf ähnelt, wenn auch in einer etwas seltsamen Programmiersprache. Derzeit besteht ein + 22 / -0-Konsens in Bezug auf das Meta, dass so etwas zulässig ist.

2 Kreise, 13 Linien, 17 Punkte

Probieren Sie es auf GeoGebra

• Lassen Sie Kreis (A, B) Kreis (B, A) bei C und D schneiden.
• Lassen Sie AB den Kreis (A, B) erneut bei E schneiden.
• Lassen Sie AB den Kreis (B, A) erneut bei F schneiden.
• Lassen Sie AD den Kreis (A, B) erneut bei G schneiden.
• Lassen Sie AD CF bei H schneiden.
• Lassen Sie BG DF bei I schneiden.
• Lassen Sie HI den Kreis (A, B) bei J und K schneiden.
• Lassen Sie BG EJ bei L schneiden.
• Lassen Sie BJ EG bei M schneiden.
• Lassen Sie BG EK bei N schneiden.
• Lassen Sie BK EG bei O schneiden.
• Lassen Sie LM den Kreis (A, B) bei P und S schneiden.
• Lassen Sie NO den Kreis (A, B) bei Q und R schneiden.

Dann ist EPQRS ein reguläres Fünfeck.

Warum es funktioniert

Lassen BE schneiden GJ bei T und lassen sich schneiden GK bei U. Die vollständigen Vierecks BEGJ zeigt , dass T das ist polar von LM, die der Schnittpunkt der Tangenten an P und S Ähnlich sind die vollständige Viereck BEGK zeigt , dass U ist die Polarität von NO, die der Schnittpunkt der Tangenten bei Q und R ist.

FG schneide HI bei V. Die Diagonalen DV und GI des vollständigen viereckigen DGVI schneiden FH bei harmonischen Konjugaten bezüglich F und H; da der erste bei ∞ liegt, ist der zweite der Mittelpunkt C von FH, dh C, D, V sind kollinear.

Lassen Sie CG HI bei W schneiden.

Nun zum spaßigen Teil. Die Linie FUBAT ist eine Perspektive von G zu Linie VKIHJ, die Perspektive von D zu Kreis CKDGJ, die Perspektive von C zu Linie HKVWJ, die Perspektive von G zu Linie AUF∞T. Wenn man diese vier Perspektivitäten zusammensetzt, erhält man eine Projektivität FUBAT AUF. Da eine eindimensionale Projektivität durch drei Punkte bestimmt wird, werden T und U als die zwei festen Punkte von FBA ⌅ AF⌅ bestimmt.

Wenn Sie Koordinaten mit A = 0, B = −1, F = −2 zuweisen , wird diese Projektivität durch x ↦ 4 / x + 2 und ihre Fixpunkte T = 1 + √5 = sec (2π / 5) und U = definiert 1 - √5 = −sec (2π / 10), genau wie erforderlich, um EPQRS zu einem regulären Fünfeck zu machen.

7 6 Kreise, 3 Zeilen

Dies ist eine klassische Fünfeckkonstruktion, deren Richtigkeit Sie hier nachweisen können .

4 Kreise, 7 Zeilen

Da es geschlagen wurde, dachte ich, ich würde nur meine ursprüngliche Lösung für das Problem posten. Diese Lösung wurde gegenüber der von Dixon in Mathographics angegebenen Methode modifiziert. Einen Beweis für die Richtigkeit dieser Methode finden Sie hier .

• Zeichne$\mathrm{Circle}(A,B)$
• Zeichne$\overline{AB}$
• Markieren Sie den Schnittpunkt von und als$\mathrm{Circle}(A,B)$$\overline{AB}$$C$
• Zeichne$\mathrm{Circle}(B,C)$
• Zeichne$\mathrm{Circle}(C,B)$
• Markieren Sie den Schnittpunkt von und als$\mathrm{Circle}(C,B)$$\mathrm{Circle}(B,C)$$D$
• Markieren Sie den Schnittpunkt von und als$\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{AB}$$E$
• Zeichne$\overline{DC}$
• Markieren Sie den Schnittpunkt von und als$\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{DC}$$F$
• Markieren Sie den Schnittpunkt von und als$\mathrm{Circle}(C,B)$$\mathrm{Circle}(B,C)$$G$
• Zeichne$\overline{BG}$
• Markieren Sie den Schnittpunkt von und als$\overline{BG}$$\overline{EF}$$H$
• Zeichne$\overline{HC}$
• Markiere den Schnittpunkt von und als$\overline{HC}$$\mathrm{Circle}(C,B)$$I$
• Zeichne$\overline{IA}$
• Markiere den Schnittpunkt von und als$\overline{IA}$$\mathrm{Circle}(A,B)$$J$
• Zeichne$\mathrm{Cirlce}(I,J)$
• Markiere den Schnittpunkt von und als$\mathrm{Circle}(I,J)$$\overline{HC}$$L$
• Markiert die Schnittstellen von und als und .$\mathrm{Circle}(I,J)$$\mathrm{Circle}(C,B)$$M$$K$
• Zeichne$\overline{ML}$
• Zeichne$\overline{KL}$
• Markieren Sie den Schnittpunkt von und als$\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{ML}$$N$
• Markieren Sie den Schnittpunkt von und als$\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{HC}$$O$
• Markieren Sie den Schnittpunkt von und als$\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{KL}$$P$

$MKPON$ ist ein reguläres Fünfeck.