Einleitung (kann ignoriert werden)

Es ist ein bisschen langweilig, alle positiven Zahlen in der regulären Reihenfolge (1, 2, 3, ...) anzuordnen, nicht wahr? Hier ist also eine Reihe von Herausforderungen im Zusammenhang mit Permutationen (Umformungen) aller positiven Zahlen. Dies ist die fünfte Herausforderung in dieser Reihe (Links zur ersten , zweiten , dritten und vierten Herausforderung).

Bei dieser Herausforderung treffen wir auf das Wythoff-Array, eine Lawine aus Fibonacci-Sequenzen und Beatty-Sequenzen!

Die Fibonacci-Zahlen sind für die meisten von Ihnen wahrscheinlich eine bekannte Folge. Bei zwei gegebenen Startnummern $F_0$ und $F_1$ sind die folgenden $F_n$ gegeben durch: $F_n = F_{(n-1)} + F_{(n-2)}$ für $n>2$ .

Die Beatty-Sequenz bei gegebenem Parameter $r$ lautet: $B^r_n = \lfloor rn \rfloor$ für $n \ge 1$ . Eine der Eigenschaften der Beatty-Sequenz ist, dass es für jeden Parameter $r$ genau einen Parameter $s=r/(r-1)$ , sodass die Beatty-Sequenzen für diese Parameter disjunkt und miteinander verbunden sind und alle natürlichen Zahlen außer umfassen 0 (zB: $B^r \cup B^{r/(r-1)} = \Bbb{N} \setminus \{0\}$).

Jetzt kommt der überwältigende Teil: Sie können ein Array erstellen, in dem jede Zeile eine Fibonacci-Sequenz und jede Spalte eine Beatty-Sequenz ist. Dieses Array ist das Wythoff-Array . Das Beste daran ist: Jede positive Zahl kommt in diesem Array genau einmal vor! Das Array sieht folgendermaßen aus:

   1    2    3    5    8   13   21   34   55   89  144 ...
   4    7   11   18   29   47   76  123  199  322  521 ...
   6   10   16   26   42   68  110  178  288  466  754 ...
   9   15   24   39   63  102  165  267  432  699 1131 ...
  12   20   32   52   84  136  220  356  576  932 1508 ...
  14   23   37   60   97  157  254  411  665 1076 1741 ...
  17   28   45   73  118  191  309  500  809 1309 2118 ...
  19   31   50   81  131  212  343  555  898 1453 2351 ...
  22   36   58   94  152  246  398  644 1042 1686 2728 ...
  25   41   66  107  173  280  453  733 1186 1919 3105 ...
  27   44   71  115  186  301  487  788 1275 2063 3338 ...
  ...

Ein Element in Zeile $m$ und Spalte $n$ ist wie folgt definiert:

$A_{m,n} = \begin{cases} \left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi \right\rfloor & \text{ if } n=1\\ \left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi^2 \right\rfloor & \text{ if } n=2\\ A_{m,n-2}+A_{m,n-1} & \text{ if }n > 2 \end{cases}$

wobei $\varphi$ der goldene Schnitt ist: $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

Wenn wir den Antidiagonalen dieses Arrays folgen, erhalten wir A035513 , die Zielsequenz für diese Herausforderung (beachten Sie, dass diese Sequenz von Neil Sloane selbst zum OEIS hinzugefügt wurde !). Da dies eine „reine Sequenz“ Herausforderung ist, die Aufgabe zu Ausgang ist $a(n)$ für eine gegebene $n$ als Eingabe, wobei $a(n)$ ist A035513 .

Es gibt verschiedene Strategien, um zu $a(n)$ , was diese Herausforderung (meiner Meinung nach) wirklich interessant macht.

Aufgabe

Bei einem gegebenen ganzzahligen Eingangs $n$ , Ausgabe $a(n)$ im Ganzzahlformat, wobei $a(n)$ ist A035513 .

Hinweis: Hier wird eine 1-basierte Indizierung angenommen. Sie können eine 0-basierte Indizierung verwenden, also $a(0) = 1; a(1) = 2$ usw. Bitte erwähnen Sie dies in Ihrer Antwort, wenn Sie dies verwenden möchten.

Testfälle

Input | Output
---------------
1     |  1
5     |  7
20    |  20
50    |  136
78    |  30
123   |  3194
1234  |  8212236486
3000  |  814
9999  |  108240
29890 |  637

$a(n)$$1\le n\le32767$$a(32642) = 512653048485188394162163283930413917147479973138989971 = F(256) \lfloor 2 \varphi\rfloor + F(255).$

Regeln

• Eingabe und Ausgabe sind Ganzzahlen
• $a(n)$ in diesem Bereich bis zu 30 Ziffern umfasst ...
• Ungültige Eingaben (0, Gleitkommazahlen, Zeichenfolgen, negative Werte usw.) können zu unvorhergesehenen Ausgaben, Fehlern oder (un) definiertem Verhalten führen.
• Es gelten die Standard- E / A-Regeln .
• Standardlücken sind verboten.
• Das ist Code-Golf , also gewinnt die kürzeste Antwort in Bytes

Jelly , 27 24 Bytes

p`SÞ⁸ịð’;×ØpḞ¥×⁹r‘ÆḞ¤Sð/

Probieren Sie es online!

Monadischer Link mit 1-basierter Indizierung. Vielen Dank an @JonathanAllan für eine bessere Möglichkeit, die Zeilen und Spalten zu erhalten nund 3 Bytes zu sparen. In seiner kürzesten Form ist es zu langsam für ein größeres n auf TIO, also versuchen Sie es online! Reduziert die Größe der anfänglichen Liste von Zeilen und Spalten auf Kosten von drei Bytes.

Erläuterung

p`                       | Cartesian product of the range from 1..input with itself   
  SÞ                     | Sort by sum
    ⁸ị                   | Find the tuple at the position indicated by the input - this is the row and column
      ð               ð/ | Start a new dyadic chain using the row as the left and column as the right argument
       ’                 | Increase the row by 1
        ;    ¥           | Concatenate to:
         ×Øp             |   row × φ
            Ḟ            |   rounded down
              ×     ¤    | Multiply this pair by
                  ÆḞ     |   the Fibonacci numbers at positions
               ⁹         |   column index and
                r‘       |   column index plus one
                     S   | sum

Beachten Sie, dass dies auf der Beschreibung des Python-Codes auf der OEIS-Seite basiert.

R , 143 130 124 123 Bytes

function(n){k=0:n+1
`~`=rbind
m=k-1~(k*(1+5^.5)/2)%/%1
for(i in k)m=m~m[i,]+m[i+1,]
m=m[-1:-2,]
m[order(row(m)+col(m))][n]}

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$T(n,-1)=n-1; T(n,0)=\lfloor n\cdot\phi\rfloor;T(n,k)=T(n,k-1)+T(n,k-2)$das Array zu konstruieren (transponiert), dann splitsdas Array entlang Antidiagonalen. kexistiert lediglich, um zu verhindern, dass ein drop=FArgument m[-1:-2,]für den Fall erzwungen wird n=1.

Vielen Dank an Neil für den Hinweis auf ein 1-Byte-Golf.

R , 150 138 132 Bytes

function(n){T[2]=1
for(j in 2:n-1)T=c(T,T[j]+T[j+1])
m=T[-1]%o%((1:n*(.5+5^.5/2))%/%1)+T[-1-n]%o%(1:n-1)
m[order(row(m)+col(m))][n]}

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Implementiert die Formel $T(n,k)=Fib(k+1)\cdot\lfloor n\cdot\phi\rfloor+Fib(k)\cdot(n-1)$um das Array zu generieren, dann splitsentlang der Antidiagonalen und extrahiert das nthElement.

Vielen Dank an Robin Ryder für den T[2]=1Trick zur Erzeugung der Fibonacci-Sequenz.

Beide Lösungen sind sehr ineffizient und erstellen eine nxnMatrix von (höchstwahrscheinlich) doubles, da R integer(32-Bit-Signed) doublebei Überlauf automatisch hochstufen soll, während die zweite Lösung wesentlich schneller sein sollte. Als nBignum nehmen sollte automatisch funktionieren, mit dem Anruf gmp::as.bigz(n), sollte der Präzisionsverlust unter doubles besorgniserregend sein, und dann wäre die Sprache R + gmp.

Wolfram-Sprache (Mathematica) , 90 Bytes

Flatten[Table[(F=Fibonacci)[a+1]⌊(b-a+1)GoldenRatio⌋+(b-a)F@a,{b,#},{a,b,1,-1}]][[#]]&

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Gelee , 30 Bytes

p`SÞ⁸ịð;Øp,²;\¤×Ḟ¥/;+ƝQƊ⁹¡ị@ð/

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Dies ist ein wenig langsam, aber mit dem PräfixḤ½Ċ(doppelt, Quadratwurzel, Decke) wie in dieser Testsuite wird eine enorme Verbesserung erzielt .

Kohle , 54 Bytes

Ｎθ≔⁰ηＷ‹ηθ«≦⊕η≧⁻ηθ»⊞υ¹Ｆθ⊞υ⁻⁺³ι§υ⊖§υι⊞υθＦ⁺²⁻θη⊞υΣ…⮌υ²Ｉ⊟υ

Probieren Sie es online! Link ist eine ausführliche Version des Codes. 0-indiziert. Verwendet nur Ganzzahlarithmetik und funktioniert daher für beliebig große Werte. Erläuterung:

Ｎθ

Eingabe q.

≔⁰ηＷ‹ηθ«≦⊕η≧⁻ηθ»

Berechnen Sie die Antidiagonale, indem Sie immer größere Zahlen von subtrahieren q, was zur Zielzeilennummer führt m.

⊞υ¹Ｆθ⊞υ⁻⁺³ι§υ⊖§υι

Berechnen Sie die ersten m+1Terme von A019446 , obwohl wir nur am mth interessiert sind .

⊞υθＦ⁺²⁻θη⊞υΣ…⮌υ²

Berechnen Sie die ersten n+4Terme der verallgemeinerten Fibonacci-Reihe, die mit beginnen [a(m), m]. Die Ausdrücke dieser Sequenz sind die mth-Ausdrücke von A019446 , A001477 , A000201 , A003622 , A035336 ; Die letzten beiden Spalten sind die ersten beiden Spalten des Wythoff-Arrays. Diese Sequenz wird daher mit der restlichen mZeile des Arrays fortgesetzt .

Ｉ⊟υ

Geben Sie den gewünschten Begriff aus.