Einführung

Heute kümmern wir uns um den Fluch der Linearalgebra-Studenten im ersten Jahr: Matrix-Bestimmtheit! Anscheinend hat dies noch keine Herausforderung. Also los geht's:

Eingang

• A symmetrische Matrix in jedem geeigneten Format (Sie können natürlich auch nur den oberen oder unteren Teil der Matrix nehmen)$n\times n$ A$A$
• Optional: die Größe der Matrix$n$

Was ist zu tun?

Die Herausforderung ist einfach: Bei einer reellen Matrix entscheidet die Matrix, ob sie positiv und definitiv ist, indem sie einen Wahrheitswert ausgibt, wenn ja, und einen Falschwert, wenn nicht.$n\times n$

Sie können davon ausgehen, dass Ihre eingebauten Funktionen tatsächlich präzise funktionieren, und müssen daher keine numerischen Probleme berücksichtigen, die zu einem falschen Verhalten führen könnten, wenn die Strategie / der Code "nachweislich" das richtige Ergebnis liefern sollte.

Wer gewinnt?

Das ist Code-Golf , also gewinnt der kürzeste Code in Bytes (pro Sprache)!

---

Was ist überhaupt eine positiv-definite Matrix?

Es gibt anscheinend 6 äquivalente Formulierungen, wenn eine symmetrische Matrix positiv definit ist. Ich werde die drei einfacheren reproduzieren und Sie für die komplexeren auf Wikipedia verweisen .

• Wenn dann ist positiv-definit. Dies kann wie folgt : Wenn für jeden Nicht-Null-Vektor das (Standard-) Punktprodukt von und positiv ist, dann ist positiv bestimmt.$\forall v\in\mathbb R^n\setminus \{0\}: v^T Av>0$$A$
  
  $v$$v$$Av$$A$
• Sei die Eigenwerte von , wenn jetzt (das ist alles Eigenwerte sind positiv) dann ist positiv-definit. Wenn Sie nicht wissen, um welche Eigenwerte es sich handelt, sollten Sie dies mit Ihrer bevorzugten Suchmaschine herausfinden, da die Erklärung (und die erforderlichen Berechnungsstrategien) zu lang ist, um in diesem Beitrag enthalten zu sein.$\lambda_i\quad i\in\{1,\ldots,n\}$A ∀ i ∈ { 1 , … , n } : λ i > 0 A$A$$\forall i\in\{1,\ldots,n\}:\lambda_i>0$$A$
  
• Wenn die Cholesky-Zerlegung von existiert, dh es existiert eine untere Dreiecksmatrix , so daß , dann ist positiv definit. Beachten Sie, dass dies einer vorzeitigen Rückgabe von "false" entspricht, wenn die Berechnung der Wurzel während des Algorithmus an einem beliebigen Punkt aufgrund eines negativen Arguments fehlschlägt.$A$$L$$LL^T=A$$A$

Beispiele

Für wahrheitsgemäße Ausgabe

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&1&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&5&0\\2&0&30\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45\\2.45&9.37\end{pmatrix}$$

Für Falschgeldausgabe

(mindestens ein Eigenwert ist 0 / positives Semi-Definit)

$$\begin{pmatrix}3&-2&2\\-2&4&0\\2&0&2\end{pmatrix}$$

(Eigenwerte haben unterschiedliche Vorzeichen / unbestimmt)

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

(alle Eigenwerte kleiner als 0 / negativ definitiv)

$$\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(alle Eigenwerte kleiner als 0 / negativ definitiv)

$$\begin{pmatrix}-2&3&0\\3&-5&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(alle Eigenwerte kleiner als 0 / negativ definitiv)

$$\begin{pmatrix}-7.15&-2.45\\-2.45&-9.37\end{pmatrix}$$

(drei positive, ein negativer Eigenwert / unbestimmt)

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45&1.23&3.5\\2.45&9.37&2.71&3.14\\1.23&2.71&0&6.2\\3.5&3.14&6.2&0.56\end{pmatrix}$$

C 108 Bytes

-1 Byte dank Logern
-3 Byte dank ceilingcat

f(M,n,i)double**M;{for(i=n*n;i--;)M[i/n][i%n]-=M[n][i%n]*M[i/n][n]/M[n][n];return M[n][n]>0&(!n||f(M,n-1));}

Probieren Sie es online!

Führt eine Gaußsche Eliminierung durch und prüft, ob alle diagonalen Elemente positiv sind (Sylvester-Kriterium). Argument nist die Größe der Matrix minus eins.

MATLAB / Octave , 19 17 12 Bytes

@(A)eig(A)>0

Probieren Sie es online!

Die Funktion eig liefert die Eigenwerte in aufsteigender Reihenfolge. Wenn also der erste Eigenwert größer als Null ist, sind es auch die anderen.

Jelly , 11 bis 10 Bytes

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0

Verwendet das Kriterium von Sylvester .

Probieren Sie es online!

Wie es funktioniert

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0  Main link. Argument: M (matrix)

   $Ƭ       Do the following until a fixed point is encountered.
Ṗ             Pop; remove the last row of the matrix.
 Ṗ€           Pop each; remove the last entry of each row.
     ÆḊ     Take the determinants of the resulting minors.
       Ṃ    Take the minimum.
        >0  Test if the least determinant is positive, i.e., if all determinants are.

R 29 Bytes

function(m)all(eigen(m)$va>0)

Probieren Sie es online!

---

Alternative mit Cholesky:

R , 34 33 Bytes

function(m)is.array(try(chol(m)))

Probieren Sie es online!

-1 Byte dank @Giuseppe

Haskell , 56 Bytes

f((x:y):z)=x>0&&f[zipWith(-)v$map(u/x*)y|u:v<-z]
f[]=1>0

Probieren Sie es online!

Grundsätzlich ein Hafen von Nwellnhofs Antwort . Führt eine Gauß-Eliminierung durch und prüft, ob die Elemente auf der Hauptdiagonale positiv sind.

Schlägt die erste Falsey-Ausgabe aufgrund von Rundungsfehlern fehl, würde aber theoretisch mit unendlicher Präzision funktionieren. Dank des Vorschlags von Curtis Bechtel sind nun alle Ausgaben korrekt.

Wolfram Language (Mathematica) , 20 Byte

0<Min@Eigenvalues@#&

Probieren Sie es online!

MATL , 4 Bytes

Yv0>

Probieren Sie es online!

[3 -2 2; -2 4 0; 2 0 2]0$10^{-18}$

Mathematica, 29 28 Bytes

AllTrue[Eigenvalues@#,#>0&]&

Definition 2.

Julia 1.0 , 28 Bytes

using LinearAlgebra
isposdef

Probieren Sie es online!

---

Julia 0,6 , 8 Bytes

isposdef

Probieren Sie es online!

MATL , 6 Bytes

Es ist möglich, noch weniger Bytes zu verwenden, @Mr. Xcoder hat eine 5-Byte-MATL-Antwort gefunden !

YvX<0>

Erläuterung

Yv     compute eigenvalues
  X<   take the minimum
    0> check whether it is greather than zero

Probieren Sie es online!

Ahorn , 33 Bytes

(dh meine 2 Cent)

with(LinearAlgebra):
IsDefinite(A)

JavaScript (ES6),  99 95  88 Byte

$0$$1$

f=(m,n=0,R=m[n])=>R?f(m,n+1)&R[m.map((r,y)=>y<n&&R.map((v,x)=>r[x]-=v*r[n]/R[n])),n]>0:1

Probieren Sie es online!