Mathe hat viele Symbole. Einige sagen vielleicht zu viele Symbole. Lassen Sie uns also ein bisschen mit Bildern rechnen.
Lassen Sie uns ein Papier haben, auf das wir zurückgreifen werden. Um zu beginnen, dass das Papier leer ist, werden wir sagen, dass dies gleichbedeutend mit oder wahr ist .
Wenn wir andere Dinge auf das Papier schreiben, werden sie auch wahr sein.
Beispielsweise
Gibt an, dass die Behauptungen und Q wahr sind.
Sagen wir nun, wenn wir einen Kreis um eine Aussage ziehen, ist diese Aussage falsch. Dies stellt logischerweise nicht.
Beispielsweise:
Zeigt an, dass falsch und Q wahr ist.
Wir können den Kreis sogar um mehrere Unteranweisungen platzieren:
Da der Teil innerhalb des Kreises normalerweise als gelesen wird, indem ein Kreis um ihn gelegt wird, bedeutet dies nicht ( P und Q ) . Wir können sogar Kreise nisten
Dies lautet .
Wenn wir einen Kreis ohne zeichnen, bedeutet dies represents oder falsch .
Da der leere Raum wahr war, ist die Negation von wahr falsch.
Mit dieser einfachen visuellen Methode können wir nun tatsächlich jede Aussage in der Aussagenlogik darstellen.
Beweise
Der nächste Schritt, nachdem Sie Aussagen darstellen können, besteht darin, sie zu beweisen. Für Beweise haben wir 4 verschiedene Regeln, die zum Transformieren eines Graphen verwendet werden können. Wir beginnen immer mit einem leeren Blatt, von dem wir wissen, dass es eine leere Wahrheit ist, und verwenden dann diese unterschiedlichen Regeln, um unser leeres Blatt Papier in einen Satz umzuwandeln.
Unsere erste Folgerungsregel lautet Einfügung .
Einfügung
Wir nennen die Anzahl der Negationen zwischen einem Subgraphen und der obersten Ebene "Tiefe". Das Einfügen ermöglicht es uns, eine beliebige Aussage in einer ungeraden Tiefe einzuführen.
Hier ist ein Beispiel, wie wir das Einfügen durchführen:
Löschen
Die nächste Folgerungsregel ist Löschen . Erasure sagt uns, dass wir eine Aussage, die sich in einer gleichmäßigen Tiefe befindet, vollständig entfernen können.
Hier ist ein Beispiel für die Löschung:
Doppelschnitt
Double Cut ist eine Äquivalenz. Dies bedeutet, dass es im Gegensatz zu den vorherigen Schlussfolgerungen auch umgekehrt werden kann. Double Cut sagt uns, dass wir zwei Kreise um jedes Untergraph zeichnen können, und wenn es zwei Kreise um ein Untergraph gibt, können wir beide entfernen.
Hier ist ein Beispiel für die Double Cut verwendet wird
Iteration
Iteration ist ebenfalls eine Äquivalenz. 1 Das Gegenteil heißt Deiteration. Wenn wir eine Anweisung und einen Schnitt auf derselben Ebene haben, können wir diese Anweisung innerhalb eines Schnitts kopieren.
Beispielsweise:
Durch Deiteration können wir eine Iteration umkehren . Eine Anweisung kann über Deiteration entfernt werden, wenn auf der nächsthöheren Ebene eine Kopie vorhanden ist.
Dieses Format der Darstellung und des Beweises ist nicht meine eigene Erfindung. Sie sind eine geringfügige Modifikation einer Diagrammlogik, die als Alpha-Existenzgraphen bezeichnet wird . Wenn Sie mehr darüber lesen möchten, gibt es nicht viel Literatur, aber der verlinkte Artikel ist ein guter Anfang.
Aufgabe
Ihre Aufgabe wird es sein, den folgenden Satz zu beweisen:
Dies ist, wenn in die traditionelle Logik übersetzt, die Symbolisierung
.
Wird auch als Łukasiewicz-Tarski-Axiom bezeichnet .
Es mag kompliziert erscheinen, aber existenzielle Graphen sind sehr effizient, wenn es um die Länge von Proofs geht. Ich habe diesen Satz gewählt, weil ich denke, dass er eine angemessene Länge für ein unterhaltsames und herausforderndes Puzzle ist. Wenn Sie Probleme mit diesem haben, würde ich empfehlen, zunächst einige grundlegendere Theoreme auszuprobieren, um den Überblick über das System zu behalten. Eine Liste davon finden Sie am Ende des Beitrags.
Dies ist Proof-Golf, sodass Ihre Punktzahl die Gesamtzahl der Schritte in Ihrem Proof von Anfang bis Ende ist. Das Ziel ist es, Ihre Punktzahl zu minimieren.
Format
Das Format für diese Herausforderung ist flexibel. Sie können Antworten in jedem gut lesbaren Format einreichen, einschließlich handgezeichneter oder gerenderter Formate. Aus Gründen der Übersichtlichkeit schlage ich jedoch folgendes einfaches Format vor:
Wir stellen einen Schnitt mit Klammern dar, alles, was wir schneiden, wird in die Klammern gesetzt. Der leere Schnitt wäre nur
()
zum Beispiel.Wir repräsentieren Atome nur mit ihren Buchstaben.
Als Beispiel hier ist die Zielaussage in diesem Format:
(((A((B(A))))(((((C)((D((E)))))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F))))))))(G))))((H(G))))
Dieses Format ist nett, weil es sowohl von Menschen als auch von Maschinen gelesen werden kann. Es wäre also nett, es in Ihren Beitrag aufzunehmen.
Wenn Sie ein paar schöne (ish) Diagramme haben möchten, finden Sie hier einen Code, der dieses Format in konvertiert
Was deine eigentliche Arbeit angeht, empfehle ich beim Training Bleistift und Papier. Ich finde, dass Text in Bezug auf existenzielle Grafiken nicht so intuitiv ist wie Papier.
Beispielbeweis
In diesem Beispielbeweis werden wir den folgenden Satz beweisen:
Beweis:
Übungssätze
Hier sind einige einfache Sätze, mit denen Sie das System üben können:
Łukasiewicz 'zweites Axiom
Merediths Axiom
1: Die meisten Quellen verwenden eine komplexere und leistungsfähigere Version von Iteration . Um diese Herausforderung einfach zu halten, verwende ich diese Version. Sie sind funktional gleichwertig.