Nun, ich denke, es ist an der Zeit, eine weitere Frage zum Golfspielen zu stellen.
Dieses Mal werden wir die bekannte logische Wahrheit beweisen
Dazu verwenden wir Lukasiewicz 'drittes Axiom-Schema , eine unglaublich elegante Menge von drei Axiomen, die die Aussagenlogik überlagern .
So funktioniert es:
Axiome
Das Łukasiewicz-System hat drei Axiome. Sie sind:
Die Axiome sind universelle Wahrheiten, unabhängig davon, wofür wir uns für , und . An jedem Punkt des Beweises können wir eines dieser Axiome einführen. Wenn wir ein Axiom einführen, ersetzen Sie jeden Fall von , und durch einen "komplexen Ausdruck". Ein komplexer Ausdruck ist ein beliebiger Ausdruck aus Atomen (dargestellt durch die Buchstaben - ) und die Operatoren implizieren ( ) und nicht ( ).
Wenn ich zum Beispiel das erste Axiom (LS1) einführen möchte, das ich einführen könnte
oder
Welche Substitutionen Sie verwenden, hängt davon ab, was Sie derzeit für den Beweis benötigen.
Modus Ponens
Jetzt, da wir Aussagen einführen können, müssen wir sie miteinander in Beziehung setzen, um neue Aussagen zu treffen. Dies geschieht in Łukasiewicz 'Axiom Schema (LS) mit Modus Ponens. Modus Ponens erlaubt es uns, zwei Aussagen der Form zu treffen
und instanziieren Sie eine neue Anweisung
Die beiden Aussagen können an beliebiger Stelle im Beweis stehen, sie müssen nicht nebeneinander oder in einer bestimmten Reihenfolge stehen.
Aufgabe
Ihre Aufgabe wird es sein, das Gesetz der Kontrapositiven zu beweisen . Das ist die Aussage
Jetzt werden Sie vielleicht bemerken, dass dies ziemlich vertraut ist, es ist eine Instanziierung der Umkehrung unseres dritten Axioms
Dies ist jedoch keine Kleinigkeit.
Wertung
Das Bewerten dieser Herausforderung ist ziemlich einfach. Jedes Mal, wenn Sie ein Axiom instanziieren, zählt dies als Punkt, und jeder Einsatz von Modus Ponens zählt als Punkt. Dies ist im Wesentlichen die Anzahl der Zeilen in Ihrem Beweis. Das Ziel sollte sein, Ihre Punktzahl so gering wie möglich zu halten.
Beispiel Beweis
φ
φ → (A → A)
A → A M.P.
φ
ψ
ψ → (φ → (A → A))
φ → (A → A) M.P.
A → A M.P.
A → χ
A → (χ → A)
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A) M.P.
A → A M.P.
A → χ
A → (χ → A) L.S.1
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A) M.P.
A → A M.P.
A → (ω → A) L.S.1
A → ((ω → A) → A) L.S.1
(A → ((ω → A) → A)) → ((A → (ω → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (ω → A)) → (A → A) M.P.
A → A M.P.
A → (B → A) L.S.1
A → ((B → A) → A) L.S.1
(A → ((B → A) → A)) → ((A → (B → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (B → A)) → (A → A) M.P.
A → A M.P.
Und das ist ein Beweis.
Ressourcen
Überprüfungsprogramm
Hier ist ein Prolog-Programm, mit dem Sie überprüfen können, ob Ihr Proof tatsächlich gültig ist. Jeder Schritt sollte in einer eigenen Zeile platziert werden. ->sollte impliziert verwendet werden und -sollte nicht, Atome verwendet werden , können durch eine beliebige Zeichenfolge von Buchstaben dargestellt werden.
Metamath
Metamath verwendet das Łukasiewicz-System für seine Beweise in der Aussagenrechnung. Sie haben auch einen Beweis für den Satz, nach dem diese Herausforderung fragt, den Sie hier finden können . Es gibt eine Erklärung hier , wie die Beweise zu lesen.
Die unglaubliche Beweismaschine
@ Antony hat mich auf ein Tool namens The Incredible Proof aufmerksam gemacht, mit dem Sie Beweise in einer Reihe von Systemen mit einem schönen grafischen Beweissystem erstellen können. Wenn Sie nach unten scrollen, werden Sie feststellen, dass sie das Łukasiewicz-System unterstützen. Wenn Sie also eine visuell orientierte Person sind, können Sie dort an Ihrem Proof arbeiten. Ihre Punktzahl ist die Anzahl der verwendeten Blöcke minus 1.
((P → Q) → R) → ((R → P) → (S → P))
