Die Lehmer-Comtet-Folge ist eine Folge, bei der a (n) die n- te Ableitung von f (x) = x ^x in Bezug auf x ist, wie bei x = 1 ausgewertet .

Aufgabe

Nehmen Sie eine nicht negative ganze Zahl als Eingabe und geben Sie den n- ten Term der Lehmer-Comtet-Folge aus.

Dies ist Codegolf, daher sollten Sie die Dateigröße Ihres Quellcodes minimieren.

Testfälle

OEIS 5727

Hier sind die ersten paar Begriffe in der Reihenfolge (aus dem OEIS kopiert)

1, 1, 2, 3, 8, 10, 54, -42, 944, -5112, 47160, -419760, 4297512, -47607144, 575023344, -7500202920, 105180931200, -1578296510400, 25238664189504, -428528786243904, 7700297625889920, -146004847062359040, 2913398154375730560, -61031188196889482880

Haskell , 77 75 Bytes, keine Differenzierung eingebaut

x@(a:b)&y@(c:d)=a*c:zipWith(+)(b&y)(x&d)
s=1:s&(1:scanl(*)1[-1,-2..])
(s!!)

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Wie es funktioniert

Wir repräsentieren eine Funktion als ihre unendliche Liste von Taylorreihenkoeffizienten um x = 1: f ( x ) = ∑ _{n = 0} ^∞ f ^{( n )} ( x - 1) ⁿ / n ! wird dargestellt durch [f (1), f '(1), f "(1), ...].

Der &Operator multipliziert zwei solcher Funktionen mit der Produktregel. Dies lässt uns rekursiv die Funktion s ( x ) = x ^{x als} solche definieren, indem wir die Differentialgleichung s (1) = 1, s '( x ) = s ( x ) ⋅ (1 + ln x ) verwenden, wobei ln x = ∑ _{n = 1} ^∞ (−1) ^{n - 1} ( n - 1)! ( X - 1) ⁿ / n !

Mathematica, 19 Bytes

D[x^x,{x,#-1}]/.x->1&

-18 Bytes von @Not a tree

Oktave mit Symbolpaket, 36 32 Bytes

syms x
@(n)subs(diff(x^x,n),x,1)

Der Code definiert eine anonyme Funktion, die mit dem Ergebnis eine symbolische Variable ausgibt.

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Haskell , 57 Bytes

f 0=1
f n=f(n-1)-foldl(\a k->f(k-1)/(1-n/k)-a*k)0[1..n-1]

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Keine eingebauten Funktionen zur Differenzierung oder Algebra. Ausgänge schweben.

Python mit SymPy , 77 75 58 57 Bytes

1 Byte gespeichert dank @notjagan

17 Bytes dank @AndersKaseorg gespeichert

from sympy import*
lambda n:diff('x^x','x',n).subs('x',1)

SageMath , 33 32 Bytes

lambda n:diff(x^x,x,n).subs(x=1)

Probieren Sie es auf SageMathCell

Python 3 , 150 Bytes

lambda n:0**n or sum(L(n-1,r)for r in range(n))
L=lambda n,r:0<=r<=n and(0**n or n*L(n-2,r-1)+L(~-n,r-1)+(r-~-n)*L(~-n,r)if r else n<2or-~-n*L(n-1,0))

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Exponentielle Laufzeitkomplexität. Verwendet die auf der OEIS-Seite angegebene Formel.

Python3 + mpmath 52 Bytes

from mpmath import*
lambda n:diff(lambda x:x**x,1,n)

-3 Bytes, Danke @Zachary T

Python 3 , 288 261 Bytes

Differenzierung ohne Differenzierung eingebaut.

p=lambda a,n:lambda v:v and p(a*n,n-1)or a
l=lambda v:v and p(1,-1)
e=lambda v:v and m(e,a(p(1,0),l))or 1
a=lambda f,g:lambda v:v and a(f(1),g(1))or f(0)+g(0)
m=lambda f,g:lambda v:v and a(m(f(1),g),m(g(1),f))or f(0)*g(0)
L=lambda n,f=e:n and L(n-1,f(1))or f(0)

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Wie es funktioniert

Jede der ersten fünf Zeilen definiert Funktionen und deren Ableitungen sowie deren Ergebnisse, wenn sie unter ausgewertet werden 1. Ihre Ableitungen sind auch Funktionen.

• p ist Macht dh a*x^n
• l ist Logarithmus dh ln(x)
• e ist exponentiell dh exp(x)
• a ist zusätzlich dh f(x)+g(x)
• m ist die Multiplikation dh f(x)*g(x)

Verwendung: Wird beispielsweise exp(ln(x)+3x^2)dargestellt als e(l()+p(3,2)). Lassen x=e(l()+p(3,2)). Um die Ableitung zu finden, rufen Sie an x(1). 1Rufen Sie an , um das Ergebnis bei Auswertung von zu finden x(0).

Bonus: symbolische Differenzierung

Pari / GP , 34 Bytes

n->n!*Vec((1+x+O(x^n++))^(1+x))[n]

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