Bearbeiten: Dies funktioniert nicht, weil ich entdeckte Schecks vergessen habe. Ich denke jedoch, dass dieser Fortschritt bemerkenswert ist, daher werde ich die Antwort hier lassen.
Wiederholung ist unmöglich.
Erstens kann es offensichtlich keine Bauernbewegungen, Burgen oder Eroberungen geben.
Als nächstes behaupte ich, dass es keine Königszüge geben kann. Um dies zu beweisen, beachten Sie, dass ein Königszug nur dann einen Scheck geben kann, wenn es sich um einen entdeckten Scheck handelt. Damit ein König sich bewegen kann, müssen sich die beiden Könige in einer Linie befinden, ob vertikal, horizontal oder diagonal. In Anbetracht der Position eines der Könige kann die Menge der Quadrate, auf der sich der andere König befindet, so dass er die Menge der Quadrate in derselben Linie mit dem König und nicht das gleiche Quadrat wie der König oder die Quadrate daneben überprüfen kann dieses Quadrat. Keine zwei dieser Felder sind benachbart, so dass der König nicht in einem Zug von einem solchen Feld zum anderen wechseln kann. Beachten Sie, dass sich die Felder A und B genau dann in einer Linie befinden, wenn sich die Felder B und A in einer Linie befinden. Sobald sich einer der Könige bewegt, befinden sie sich nicht mehr in einer Linie, sodass keine weiteren Königsbewegungen mehr Kontrolle geben können. Es gibt also höchstens einen Königszug im Zyklus,
Daher kann es keine Ritterkontrollen geben, sonst müsste sich der König bewegen oder der Ritter müsste gefangen genommen werden.
Daher sind alle Züge stückweise, was bedeutet, dass sie alle die vorherigen Prüfungen blockieren müssen.
Nehmen wir für jede Metrik auf der Menge der Quadrate des Schachbretts an, dass für jede Menge von Positionen für die Könige K1 und K2 und jedes Quadrat A, das in einer Linie (vertikal, horizontal oder diagonal) mit dem König liegt, Jedes blockierende Quadrat B kann die Summe der Abstände vom Quadrat zu jedem der Könige nicht erhöhen (d. h. d (A, K1) + d (A, K2)> = d (B, K1) + d (B, K2) )). Dann muss die Summe der Abstände zu jedem der Quadrate der Könige während des gesamten Zyklus konstant bleiben.
Es ist leicht zu überprüfen, ob die folgenden Metriken diese Eigenschaft erfüllen: d (A, B) = | row (A) -row (B) | d (A, B) = | Spalte (A) -Spalte (B) | d (A, B) = | Steigung1diagonal (A) -Slope1diagonal (B) | (Damit meine ich die Zahl der Diagonalen, die parallel zur A1H8-Diagonale von 1-15 sind) d (A, B) = | Steigung-1-Diagonale (A) -Slope-1-Diagonale (B) | (Wie die vorherige, jedoch parallel zur anderen Diagonale)
Tatsächlich ist es leicht zu erkennen, dass für jede der obigen Metriken das Blockierungsquadrat nicht innerhalb der zwei parallelen Linien dieser Metriken liegt (z. B. für die erste Metrik innerhalb des Rechtecks mit Seiten, die durch die Reihen von jeder von jeder gebildet werden die Könige und Säulen die Seiten des Brettes), dann wird die Summe der Abstände mit dem nächsten blockierenden Quadrat abnehmen. Was ein Widerspruch wäre, so dass die Sperrquadrate auf jede der parallelen Begrenzungslinien beschränkt sind.
Wenn sich die beiden Könige in derselben Zeile, Spalte oder Diagonale befinden, zeigt die Verwendung des Arguments aus dem obigen Absatz, dass alle Sperrquadrate in dieser Zeile, Spalte oder Diagonale eindeutig unmöglich sein müssen.
Wenn wir also die Königspositionen als zwei gegenüberliegende Eckpunkte eines Rechtecks mit Seiten parallel zu den Seiten des Bretts betrachten, müssen sich unter Verwendung der ersten beiden Metriken alle blockierenden Quadrate in oder auf dem Begrenzungsrechteck befinden. Die Verwendung der beiden anderen Metriken ermöglicht es uns, dies auf ein begrenzendes Parallelogramm zu verkleinern.
Beachten Sie, dass die einzig möglichen Blockierungsquadrate diejenigen sind, die Schnittpunkte der Zeilen, Spalten und Diagonalen durch jedes der Quadrate der Könige sind, da sie dem anderen König einen Scheck geben und einen Scheck blockieren müssen. Es ist leicht zu erkennen, dass das Begrenzungsparallelogramm immer zwei mögliche Blockierungsquadrate enthält: die beiden anderen Eckpunkte des Parallelogramms. Aber wenn wir dann jeweils ein Kontrollstück haben (was notwendig ist), dann gibt es keine Quadrate von ihnen, zu denen wir uns bewegen können, um Scheck und Widerspruch zu geben.