Wie berechne ich den Durchmesser eines Kettenblatts aus der Anzahl der Zähne?

Wenn wir nur die Anzahl der Zähne eines Kettenblatts kennen, können wir einen genauen Durchmesser bestimmen?

chainring framebuilding

— Hundeohren
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Grundsätzlich gibt es 3 Kreise mit unterschiedlichen Durchmessern (Zahnspitzen, Basis oder wo die Kette tatsächlich sitzt) - welchen möchten Sie? Wofür brauchst du den Durchmesser?

— freiheit

schöne Antworten hier, aber ist der Durchmesser nicht doppelt so groß wie der Radius eines Kreises?

— JackJoe

@jackJoe ja, aber das ist nicht hilfreich, weil du auch den Radius nicht kennst.

— freiheit

@ JackJoe: Das ist es. Aber wir haben keine Informationen außer der Anzahl der Zähne pro OP.

— Zenbike

Hundeohren: Bitte schauen Sie sich die Frage auf Math.Stackexchange.com an. Es ist eine weitaus komplexere und gründlichere Untersuchung des Problems. Für diese Seite schlage ich vor, dass Sie die Antwort von @Lantius wählen. Meins ist gut und praktisch für die meisten Zwecke. Es wird in den Fehlerbereich gängiger Messinstrumente fallen. Es ist nicht ganz genau und Lantius 'Antwort bestätigt dies.

— Zenbike

Antworten:

Ein Kettenblatt ist ein n-seitiges reguläres Polygon, wobei n die Anzahl der Zähne ist. Die Seitenlänge s des Polygons ist der Abstand von Spitze zu Spitze jedes Kettenblattzahns.

Die Formel für den Radius eines regulären Polygons lautet:

_{(Quelle: mathopenref.com )}

Wenn wir Zenbikes 12,75 mm oben für s verwenden , erhalten wir 107,61 für den Radius oder 215,22 mm für den Durchmesser, was seiner Annäherung sehr nahe kommt.

Der Vergleich der beiden Formeln zeigt, dass der Längenterm erwartungsgemäß eliminiert werden kann. Dies lässt uns mit:

1 / sin ( pi / n ) gegen n / pi

Für großes n konvergieren diese Terme und führen zu einem Fehler von nur 0,12 mm, wenn n = 53 ist. Es ist etwas größer, wenn n kleiner wird, und unterscheidet sich für n = 11 um 0,64 mm.

Für alle praktischen Zwecke würde ich nur s * n / pi verwenden , selbst für das kleinste Zahnrad, auf das Sie stoßen, liegt es innerhalb eines Millimeters.

— Lantius
quelle

Ich interessiere mich für die Mathematik hier. Können Sie (für diejenigen von uns, die weniger Zeit in einem Mathematikkurs haben) darlegen, was jede Variable darstellt? Ich glaube, ich folge dir, bin mir aber nicht sicher. Die s * n / pi-Formel ist die gleiche wie die, die ich mache, richtig? Woher kommt die Ungenauigkeit für eine kleinere Anzahl von Seiten? (Angenommen, ich

— folge

Ist es eher die gerade Linie zwischen den Zähnen als ein beschriebener Bogen?

— Zenbike

Es ist eine gerade Linie. Wenn Sie beispielsweise ein unglaublich kleines Kettenblatt mit acht Zähnen (Eckpunkten) hätten, könnten Sie ein sauber aussehendes Achteck darum herum zeichnen. Wie Sie vermutet haben, fehlt beim Messen des geradlinigen Abstands entlang der Kanten dieses Achtecks und beim Multiplizieren der zusätzliche Abstand, den ein Bogen zwischen diesen Punkten schreiben würde, sodass Ihr Gesamtumfang nur ein wenig kurz ist. Wenn Ihre Punkte näher zusammenrücken, wird der Unterschied kleiner - ein Polygon mit einer Million winziger Seiten ist von einem Kreis kaum zu unterscheiden.

— Lantius

Das hat es sich gedacht. Danke für die Klarstellung. Wie passen Sie sich dem fehlenden Lichtbogen in der Messung an?

— Zenbike

Dieselbe Mathematik in einem etwas leichter verdaulichen Format ist die crd (Theta) -Funktion en.wikipedia.org/wiki/Chord_(geometry) - sie bezieht die Länge des Akkords (in diesem Fall die Kettenteilung ) auf den Radius und die Winkel. Hier angepasst, 12,7 mm = r crd (360 / n) = 2 · r · sin (180 / n); daher ist r = 6,35 / sin (180 / n) mm. Wir brauchen TeX hier.

— Ehryk

Wenn Sie nur die Steigung der Kette (Standard für die meisten Fahrräder) und die Anzahl der Zähne kennen, können Sie den Kreis (und n-Gon) nur durch die Stiftmitten vollständig beschreiben . Ich werde mein Bestes tun, um die mathematischen Formeln lesbar mit Text zu machen, aber ich werde jeden der vier Kreise / n-Gons vollständig beschreiben:

Kettenblattkreise

Lassen:

n = Anzahl der Zähne

L = Kettenabstand (Gliederlänge) (12,7 mm für die meisten Fahrräder)

Unten finden Sie die Maße für Tal, Walze und Zahnoberseite. Beachten Sie, dass die Zahnspitzen von Hersteller zu Hersteller unterschiedlich sein können und sich während der gesamten Lebensdauer des Rings ändern. Die alternative Methode unten ist wahrscheinlich die einfachste Methode für die Rahmenfreiheit.

Da Sie die Steigung der Kette kennen (1/2 "oder 12,7 mm ist eine Kette der Serie 40, die normalerweise für Fahrräder verwendet wird), bilden die Kettenstifte ein regelmäßiges n-Gon (ein Polygon mit n Seiten gleicher Länge). Die Formel für den Umfang dieses n-Gons ist ziemlich einfach (siehe unten) und für die meisten Näherungswerte in Ordnung. Beachten Sie, dass dies auch der Kettenlänge entspricht, die um die Wicklung gewickelt wird Ring (die Kette würde dem n-Gon folgen, nicht dem Kreis).

Umfang von n-Gon durch Stiftmitten

Umfang von n-Gon = L * n = 12,7 * n mm

Dies ist jedoch nicht ganz genau, um den Kreis durch die Stiftmitten zu beschreiben . Die genaueren Formeln sind unten:

Kreis durch Stiftmitten

Umfang = pi * L / (sin (180 / n)) = 39,8982 / (sin (180 / n)) mm

Radius = L / (2 sin (180 / n)) = 6,35 / sin (180 / n) mm = 'pcRad' (Radius der Stiftmitte)

Durchmesser = L / sin (180 / n) = 12,7 / sin (180 / n) mm = "pcD" (Stiftmitteldurchmesser)

Jetzt benötigen wir zusätzliche Informationen, um die beiden verwandten Kreise / n-Gons zu beschreiben:

Für die Talböden und Rollen müssen wir den Radius oder Durchmesser der Kettenrolle um den Stift kennen. Laut http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain hat eine Kette der Serie 40 einen Rollendurchmesser von 7,92 mm (0,312 "). Da der Abstand von der Stiftmitte zum Talboden der Radius von ist Der Roller:

Kreis / n-Gon über Talböden

rRad = Rollenradius (3,96 mm für die meisten Fahrräder)

Umfang von n-Gon Talböden = 2 * n * (pcRad - rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad - 3,96) * sin (180 / n) mm

floorRadius = pcRad - rRad = pcRad - 3,96 mm

Bodendurchmesser = 2 * fRad = pcD - 2 * rRad = pcD - 7,92 mm

Kreis / n-Gon der Oberseiten der Kettenrollen

Umfang von n-Gon von Rolloberteilen = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3,96) * sin (180 / n) mm

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3,96 mm

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7,92 mm

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7,92) mm

Damit der endgültige Kreis / n-Gon beschrieben werden kann, benötigen wir die Zahnhöhe über den Stiftmitten. Ich würde erwarten, dass dies bei einem neuen Kettenblatt positiv und bei einem abgenutzten negativ ist:

Kreis / n-Gon der Zahnspitzen

t = Höhe der Zahnspitze über den Stiftmitten (negativ, wenn unten)

Umfang von n-Gon Zahnspitzen = 2 * n * (pcRad + t) * sin (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

Um diese Berechnung ein wenig zu vereinfachen (bei einem abgenutzten Kettenblatt jedoch etwas weniger genau), können Sie alternativ Ihren individuellen Zahnabstand messen. Idealerweise sind sie etwas länger als die Kettensteigung, aber das ändert sich, wenn sich die Kette abnutzt:

Kreis / n-Gon der Zahnspitzen - Alternativ

t Abstand = durchschnittlicher Abstand zwischen den Zahnspitzen

Umfang von n-Gon Zahnspitzen = n * t Abstand

tipRadius = tSpacing / (2 sin (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = tSpacing / sin (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * tSpacing / (sin (180 / n))

— Ehryk
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Eine kleine Korrektur von Ehryks Formeln in Bezug auf Talböden und Spitzen. Gemäß [1] hat eine Kette der Serie 40 einen Rollendurchmesser von 7,77 mm (0,306 Zoll). Ehryk's ist für eine Kette der Serie 41. [1]: en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain

BEARBEITEN:

Ich habe diese Frage auf math.se gepostet und eine interessante Antwort erhalten , die im Grunde Lantius 'Antwort als genaueres mathematisches Modell und meine als praktische Annäherung für die Fahrradwelt bestätigt.

Mit nur der Anzahl der Zähne, nein.

Angesichts der Anzahl der Zähne und des erforderlichen Abstands von Spitze zu Spitze jedes Zahns, der der Kette für die Marke des verwendeten Kettenblatts entspricht, können Sie den Umfang leicht bestimmen.

Mit dem Umfang ist es einfach, den Durchmesser zu bestimmen.

Teilen Sie den Durchmesser durch Pi (3.14159 bis 5. Dezimalstelle)

C = D / 3,14159

Wenn also die Anzahl der Zähne 53 beträgt und der Abstand 12,75 mm beträgt, haben wir einen Umfang von 675,75 Millimetern.

675,75 Millimeter geteilt durch 3,14159 ergeben einen Durchmesser von 215,1 Millimetern. Umgerechnet und auf 2 Stellen gerundet, ist es 8,46 Zoll.

Ich habe den Durchmesser eines 53-Zahn-Shimano-Kettenblatts gemessen und er beträgt 8,51 Zoll. Daher glaube ich, dass meine Mathematik so genau sein sollte wie die Toleranzen bei meinen Messungen.

Diagramm der Formel und Methode

— Zenbike
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Natürlich haben Sie bei einem Kettenblatt die Frage, was "der Durchmesser" ist - wie messen Sie ihn? Wenn Sie aus der obigen Formel berechnen, sollten Sie den Durchmesser des Kettenkreises erhalten - im Grunde den Kreis, den die Kettenstifte beschreiben - nicht den innersten oder äußersten Durchmesser.

— Daniel R Hicks

Tatsächlich basiert diese Zahl auf der Messung mit einem Messschieber von Zahnspitze zu Zahnspitze. Dies ist der Umfang, der durch einen Kreis beschrieben wird, der die Spitze jedes Zahns berührt. Und ich habe einen Außendurchmesser angenommen, da dies für den Rahmenbau von Bedeutung ist.

— Zenbike

Und hoffe es ist nicht elliptisch :-)

— Karl

Ja, jetzt, wo ich darüber nachdenke, sollte eine Kette an einem Kettenblatt etwas locker sein - eine Möglichkeit, (grob) die Kettendehnung zu überprüfen, besteht darin, am vordersten Glied herauszuziehen und zu sehen, wie viel es gibt - sollte ungefähr sein eine halbe Kettendicke. Trotzdem würden Sie (zumindest theoretisch) den äußersten Durchmesser nicht mit Ihrer Formel berechnen.

— Daniel R Hicks

@ Daniel R Hicks: Wie ist das? Es funktioniert tatsächlich, wie ich es berechnet und gegen ein physisches Kettenblatt geprüft habe, und es stimmt überein. Beschreibe ich den Prozess vielleicht nicht gut genug?

— Zenbike