Die Java Runtime Environment (JRE) ist weiterhin für Ubuntu verfügbar. Es wird von einem Repository des dritten Teils mit dem Paketnamen update-sun-jre bereitgestellt. Dies funktioniert offensichtlich nicht für die Verwendung im Browser, wenn der Browser die verwendete API gelöscht hat. Wenn Ihre Signatur jedoch offline erfolgen kann, wird das Problem wahrscheinlich für Sie gelöst.
Andernfalls möchten Sie möglicherweise die Gründe untersuchen, aus denen Mozilla NPAPI gelöscht hat - alles läuft auf Sicherheit hinaus. Flash und Java, die Hauptbenutzer dieser API, sind beide Sicherheits-Albträume, und der Trend im Browser-Design besteht seit mehreren Jahren darin, sich von diesen Helfern zu XML und HTML5 zu entfernen, um dieselben Aufgaben zu erledigen. Es kann ein guter Plan sein, Ihre Bank zu fragen, wann sie auf sicherere Tools aktualisiert wird oder wie Sie die Sicherheit Ihrer Verbindung zu ihnen gewährleisten können, wenn sie darauf bestehen, veraltete Tools zu verwenden.
Eine andere Möglichkeit, obwohl ich nicht weiß, wie lange es noch funktionieren wird, besteht darin, zum SeaMonkey-Browser zu wechseln. Es ist Firefox unter der Haut, aber es sieht aus wie die alte Netscape Internet Suite - und unterstützt derzeit noch Java (und Flash über das Pepperflash-Plugin). Es waren im Allgemeinen einige Versionen hinter Firefox, sodass Sie möglicherweise etwas Zeit für eine bessere Lösung haben.
Die letzte und IMO schlechteste Option wäre die Verwendung von Wine zum Installieren und Ausführen von Internet Explorer. Ich würde jedoch vermeiden, zu erwähnen, dass dies möglich ist, wenn Sie dieses Sicherheitsproblem mit Ihrer Bank besprechen.