Rechtlich gesehen benötigen Sie einen gültigen Reisepass oder ein gleichwertiges Reisedokument, um eine Grenze eines Schengen-Staates zu überschreiten, unabhängig davon, ob es sich um eine innere oder äußere Grenze des Schengen-Raums handelt. Ich kann keine Liste gleichwertiger Reisedokumente für Frankreich finden, aber die für Italien listet nur „exotische“ Alternativen auf - Dokumente für Flüchtlinge, Seeleute usw. (Staatsangehörige eines EU-Landes und einige andere benötigen nur einen Personalausweis ).
In der Praxis sind die Grenzen innerhalb des Schengen-Raums nicht für systematische Kontrollen ausgestattet, und es besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass Sie nur durchfahren, ohne zu bemerken, dass Sie die Grenze überschritten haben. Auf der Straße von den Niederlanden nach Frankreich gibt es (oder gab es gelegentlich) Kontrollen auf Drogenschmuggel. Ich bezweifle, dass es ein Problem ist, wenn Sie nur einen Führerschein vorweisen können. Es ist besser, wenn Sie Ihre Aufenthaltserlaubnis und eine Fotokopie Ihres Reisepasses haben - mit diesen Dokumenten wäre es außergewöhnlich, in Schwierigkeiten zu geraten.
Soweit ich weiß, gibt es in Frankreich keine direkte Strafe für das Fehlen eines Ausweises. (Ich weiß das für Staatsangehörige; ich denke, das gilt auch für Ausländer.) Es besteht die Verpflichtung, dass Sie in der Lage sein müssen, Ihre Identität auf Anfrage nachzuweisen (technisch muss die Anfrage begründet sein, in der Praxis kann dies jedoch ein Polizist immer einen Vorwand finden). Als Ausländer müssten Sie auch Ihr Recht auf Anwesenheit nachweisen, da Sie sonst inhaftiert und ausgewiesen werden könnten. Auch hier ist es sehr unwahrscheinlich, dass Sie mit einem Identitätsnachweis wie einem Führerschein sowie einer Kopie Ihres Reisepasses und Ihrer Aufenthaltserlaubnis in Schwierigkeiten geraten.
Das einzige, was Sie ohne Reisepass nicht zuverlässig tun können, ist Fliegen. Alle kommerziellen Fluggesellschaften benötigen einen Reisepass (oder Personalausweis), auch für Schengen-Inlandsflüge. Sie überprüfen dies oft nicht, aber wenn doch, lassen sie Sie wahrscheinlich nicht in den Flug einsteigen, wenn Sie keine für sie akzeptablen Unterlagen haben.