MLE des Positionsparameters in einer Cauchy-Verteilung


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Nach der Zentrierung können die beiden Messungen x und −x als unabhängige Beobachtungen aus einer Cauchy-Verteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion angenommen werden:

f(x:θ)= 1π(1+(xθ)2) ,<x<

Zeigen Sie, dass, wenn x21 der MLE von θ 0 ist, aber wenn x2>1 es zwei MLE von θ , die gleich ± x21

Ich denke, um die MLE zu finden, muss ich die Log-Wahrscheinlichkeit unterscheiden:

=Σ2(xi-θ)dldθ = =2(-x-θ)2(xiθ)1+(xiθ)2 = +2(x-θ)2(xθ)1+(xθ)2 =02(xθ)1+(xθ)2 =0

So,

=2(x+ &thgr;)2(xθ)1+(xθ)2 = 2(x+θ)1+(xθ)2

was ich dann vereinfacht habe

5x2=3θ2+2θx+3

Jetzt bin ich gegen eine Wand gestoßen. Ich habe wahrscheinlich irgendwann einen Fehler gemacht, bin mir aber nicht sicher, wie ich die Frage beantworten soll. Kann jemand helfen?


Erklären Sie bitte, warum Sie x in -x und + x aufgeteilt haben. Dies ist meine Hausaufgabe und ich bleibe bei diesem Schritt stecken. Ich vermute, Sie haben Newtons Raphson-Methode angewendet. Aber ich verstehe nicht, wie ich es anwenden soll. Kannst du es mir bitte sagen?
user89929

Antworten:


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Ihre Berechnungen enthalten einen Tippfehler. Die erste Bestellbedingung für ein Maximum ist:

Lθ=02(x+θ)1+(x+θ)22(xθ)1+(xθ)2=0(x+θ)+(x+θ)(xθ)2(xθ)(xθ)(x+θ)2=02θ+(x+θ)(xθ)[xθ(x+θ]=02θ2θ(x+θ)(xθ)=02θ2θ(x2θ2)=02θ(1x2+θ2)=02θ(θ2+(1x2))=0

x21θ^=0

x2>12θ[θ2(x21)]=0 so, apart from the candidate point θ=0 you also get

Lθ=0,forθ^=±x21

You also have to justify why in this case θ^=0 is no longer an MLE.

ADDENDUM

For x=±0.5 the graph of the log-likelihood is enter image description here

while for x=±1.5 the graph of the log-likelihood is, enter image description here

Now all you have to do is to prove it algebraically and then wonder "fine -now which of the two should I choose?"


Thanks! I can't see why θ=0 would no longer be an MLE though
user123965

Work the 2nd order condition for a maximum, or evaluate the likelihood at the candidate solutions
Alecos Papadopoulos

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+1 great answer. Also, this might be interesting: wolframalpha.com/share/… wolframalpha.com/share/…
random_user

@random_user Thanks! - I took the liberty to incorporate the plot in the answer.
Alecos Papadopoulos

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2nd derivative positive so indeed a local minimum
Alecos Papadopoulos
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