LogLikelihood-Parameterschätzung für linearen Gaußschen Kalman-Filter

Ich habe einen Code geschrieben, der die Kalman-Filterung (unter Verwendung einer Reihe verschiedener Kalman-Filter [Information Filter et al.]) Für die lineare Gaußsche Zustandsraumanalyse für einen n-dimensionalen Zustandsvektor durchführen kann. Die Filter funktionieren sehr gut und ich bekomme eine schöne Ausgabe. Die Parameterschätzung über die Loglikelihood-Schätzung verwirrt mich jedoch. Ich bin kein Statistiker, sondern ein Physiker. Seien Sie also bitte freundlich.

Betrachten wir das lineare Gaußsche Zustandsraummodell

wobei $y_{t}$ unser Beobachtungsvektor ist, $\alpha_{t}$ unser Zustandsvektor zum Zeitpunkt $t$ . Die fett gedruckten Größen sind die Transformationsmatrizen des Zustandsraummodells, die gemäß den Merkmalen des betrachteten Systems eingestellt werden. Wir haben auch

wo . Jetzt habe ich die Rekursion für den Kalman-Filter für dieses generische Zustandsraummodell abgeleitet und implementiert, indem ich die Anfangsparameter und Varianzmatrizen H 1 und Q 1 erraten habe, wie ich Diagramme erstellen kann$t = 1,\ldots, n$$\mathbf{H}_{1}$$\mathbf{Q}_{1}$

Wo die Punkte die Nilwasserstände für Jan. über 100 Jahre sind, ist die Linie der geschätzte Kalamn-Zustand, und die gestrichelten Linien sind die 90% -Konfidenzniveaus.

Für diesen 1D-Datensatz sind die Matrizen und Q t nur Skalare σ ϵ bzw. σ η . Jetzt möchte ich die richtigen Parameter für diese Skalare mithilfe der Ausgabe des Kalman-Filters und der Loglikelihood-Funktion ermitteln$\mathbf{H}_{t}$$\mathbf{Q}_{t}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

Dabei ist der Zustandsfehler und F t die Zustandsfehlervarianz. Hier bin ich verwirrt. Aus dem Kalman-Filter habe ich alle Informationen, die ich brauche, um L zu berechnen, aber dies scheint mir nicht näher zu kommen, um die maximale Wahrscheinlichkeit von σ ϵ und σ η berechnen zu können . Meine Frage ist, wie ich die maximale Wahrscheinlichkeit von σ ϵ und σ η unter Verwendung des Loglikelihood-Ansatzes und der obigen Gleichung berechnen kann. Eine algorithmische Panne wäre für mich im Moment wie ein kaltes Bier ...$v_{t}$$\mathbf{F}_{t}$$L$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

Vielen Dank für Ihre Zeit.

Hinweis. Für den 1D-Fall ist und H t = σ 2 η . Dies ist das univariate Modell auf lokaler Ebene.$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\epsilon}$$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\eta}$

Wenn Sie den Kalman-Filter so ausführen, wie Sie es getan haben, erhalten Sie mit gegebenen Werten von und σ 2 η eine Folge von Innovationen ν t und deren Kovarianzen F t , daher können Sie den Wert von log L ( Y n ) mit berechnen die Formel, die Sie geben.$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\nu_t$$\boldsymbol{F_t}$$\log L(Y_n)$

Mit anderen Worten, Sie können den Kalman-Filter als einen Weg betrachten, eine implizite Funktion von und σ 2 η zu berechnen . Das einzige, was Sie dann tun müssen, ist, diese Berechnung in eine Funktion oder ein Unterprogramm zu packen und diese Funktion für eine Optimierungsroutine zu verarbeiten - wie in R. Diese Funktion sollte als Eingaben σ 2 ϵ und σ 2 η akzeptieren und log L zurückgeben ( Y n ) .$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$optim$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\log L(Y_n)$

Einige Pakete in R (zB dlm) erledigen dies für Sie (siehe zB Funktion dlmMLE).