Normale Annäherung an die Poisson-Verteilung

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Hier in Wikipedia heißt es:

Für ausreichend große Werte von $λ$ (sagen wir $λ>1000$ ) ist die Normalverteilung mit dem Mittelwert $λ$ und der Varianz $λ$ (Standardabweichung ) eine hervorragende Annäherung an die Poisson-Verteilung. Wenn größer als ungefähr 10 ist, ist die Normalverteilung eine gute Annäherung, wenn eine geeignete Kontinuitätskorrektur durchgeführt wird, dh wobei (Kleinbuchstabe) eine nicht negative ganze Zahl ist, durch ersetzt wird $\sqrt{\lambda}$ $λ$ $P(X ≤ x),$ $x$ $P(X ≤ x + 0.5).$

$F_\mathrm{Poisson}(x;\lambda) \approx F_\mathrm{normal}(x;\mu=\lambda,\sigma^2=\lambda)$

Leider wird dies nicht zitiert. Ich möchte dies mit einiger Genauigkeit zeigen / beweisen können. Wie kann man eigentlich sagen, dass die Normalverteilung eine gute Annäherung ist, wenn , wie quantifiziert man diese 'ausgezeichnete' Näherung, welche Maße wurden verwendet? $\lambda > 1000$

Das weiteste, was ich damit zu tun habe, ist hier, wo John über die Verwendung des Berry-Esseen-Theorems spricht und den Fehler in den beiden CDFs approximiert. Soweit ich sehen kann, versucht er keine Werte von . $\lambda \geq 1000$

normal-distribution poisson-distribution approximation

— hgeop
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Sie können es nicht beweisen , ohne "gut" zu definieren. (Sie können ein asymptotisches Ergebnis nachweisen, aber Sie können es bei einer bestimmten Stichprobengröße nicht als "gut" deklarieren, ohne Ihre Kriterien zu definieren.) Sie können sein Verhalten anhand eines direkten Beispiels demonstrieren (anhand dessen die Leute sehen können, wie gut "gut" ist). ist durch ihre eigenen Lichter). Für typische Kriterien, die Menschen verwenden, funktioniert eine Kontinuitätskorrektur gut für

λ > 10

$\lambda>10$ , solange Sie nicht tief in den Schwanz gehen.

— Glen_b -State Monica

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(Genauer gesagt, wenn Ihr Kriterium ein absoluter Fehler ist, können Sie bei kleinen Stichprobengrößen wie 10 möglicherweise überall „gut“ erreichen, aber die meisten Menschen interessieren sich für etwas, das dem relativen Fehler näher kommt.)

— Glen_b - Monica neu installieren

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Angenommen, $X$ ist Poisson mit dem Parameter $\lambda$ und $Y$ ist normal mit dem Mittelwert und der Varianz $\lambda$ . Es scheint mir, dass der geeignete Vergleich zwischen $\Pr(X = n)$ und $\Pr(Y \in [n-\frac12,n+\frac12])$ . Hier schreibe ich der Einfachheit halber $n = \lambda + \alpha \sqrt\lambda$ , das heißt, sind wir daran interessiertwenn $n$ entspricht $\alpha$ von der mittleren Standardabweichungen.

Also habe ich betrogen. Ich habe Mathematica benutzt. Also sowohl als auch $\Pr(X = n)$ sind asymptotisch gegenüber $\Pr(Y \in [n-\frac12,n+\frac12])$ als. Ihr Unterschied ist jedoch asymptotisch zu

\frac{1}{\sqrt{2 π λ}} e^{- α^{2} / 2}

$\frac 1{\sqrt{2\pi \lambda}} e^{-\alpha^2/2}$

λ \to \infty

$\lambda \to \infty$

Wenn Sie dies als Funktion von

, erhalten Sie dieselbe Kurve wie in der vorletzten Abbildung unterhttp://www.johndcook.com/blog/normal_approx_to_poisson/.

\frac{α (α^{2} - 3) e^{- α^{2} / 2}}{6 \sqrt{2 π} λ}

$\frac{\alpha \left(\alpha ^2-3\right) e^{-\alpha ^2/{2}}}{6 \sqrt{2 \pi } \lambda }$

α

$\alpha$

Hier sind die Befehle, die ich verwendet habe:

  n = lambda + alpha Sqrt[lambda];
  p1 = Exp[-lambda] lambda^n/n!;
  p2 = Integrate[1/Sqrt[2 Pi]/Sqrt[lambda] Exp[-(x-lambda)^2/2/lambda], {x, n-1/2, n+1/2}];
  Series[p1, {lambda, Infinity, 1}]
  Series[p2, {lambda, Infinity, 1}]

Auch mit ein wenig Experimentieren, scheint es mir , dass eine bessere asymptotische Annäherung an ist . Dann ist der Fehler $\Pr(X = n)$ $\Pr(Y \in [n-\alpha^2/6,n+1-\alpha^2/6])$ , dieBegriff ist

- \frac{(5 α^{4} - 9 α^{2} - 6) e^{- α^{2} / 2}}{72 \sqrt{2 π} λ^{3 / 2}}

$-\frac{\left(5 \alpha ^4-9 \alpha ^2-6\right) e^{-{\alpha ^2}/{2}} }{72 \sqrt{2 \pi } \lambda ^{3/2} }$

mal kleiner.

\sqrt{λ}

$\sqrt\lambda$

— Stephen Montgomery-Smith
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$H_{0}:$ $N(\lambda,\lambda)$ $\lambda$

Wählen Sie eine repräsentative, hypothetische Stichprobengröße n und stellen Sie das Signifikanzniveau des Tests auf einen typischen Wert ein, z. B. 5%.

$\lambda$ $\beta$ von einem KS-Normalitätstest mit Ihrer ausgewählten Signifikanz % der Zeit Niveau.

Wie auch immer, das ist nur ein Weg, um ein Gefühl von "Güte der Passform" zu bekommen. Alle stützen sich jedoch auf einige subjektive Vorstellungen von "Güte", die Sie selbst definieren müssen.

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Die Ableitung aus der Binomialverteilung kann Ihnen einen Einblick verschaffen.

Wir haben eine binomische Zufallsvariable;

p (x) = (\binom{n}{x}) p^{x} (1 - p)^{n - x}

$p(x) = {n \choose x} p^x (1-p)^{n-x}$

Dies kann alternativ rekursiv berechnet werden;

p (x) = \frac{(n - x + 1) p}{x (1 - p)} p (x - 1)

$p(x) = \frac{(n-x+1)p}{x(1-p)}p(x-1)$

Wenn Sie den Ausgangszustand beibehalten;

p (0) = (1 - p)^{n}

$p(0) = (1-p)^n$

$n$ $p$ $p(x)$ $(np = \lambda)$

P (X = i) = (\binom{n}{i}) p^{x} (1 - p)^{n - x}

$P( X = i ) = {n \choose i} p^x (1-p)^{n-x}$

$p = \lambda / n$

P (X = i) = \frac{n!}{(n - i)! i!} {(\frac{λ}{n})}^{i} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n - i}

$P( X = i ) = \frac{n!}{(n-i)!i!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^i \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-i}$

We switch some variables around and evaluate;

P (X = i) = \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - i + 1)}{n^{i}} \frac{λ^{i}}{i!} \frac{(1 - \frac{λ}{n})^{n}}{(1 - \frac{λ}{n})^{i}}

$P( X = i ) = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-i+1)}{n^i} \frac{\lambda^i}{i!} \frac{(1-\frac{\lambda}{n})^n}{(1-\frac{\lambda}{n})^i}$

From calculus we know that $\lim_{n\to\infty} (1 + x/n)^n = e^x$ . We also know that $[n(n-1)(n-2)\cdots(n-i+1)]/n^i \approx 1$ because both the top and bottom are polynomials of degree $i$ .

This leads to the conclusion that as $n \to \infty$ :

P (X = i) \to \frac{e^{- λ} λ^{i}}{i!}

$P(X=i) \to \frac{ e^{-\lambda}{\lambda^i}}{i!}$

You can then verify that $E(X) = \lambda$ and $\operatorname{Var}(X) = \lambda$ via the definition. We know that the binomial distribution approximates the normal under the conditions of the De Moivre-Laplace Theorem as long as you correct for the continuity, which is why $P(X\le x)$ is replaced by $P(X\le x+0.5)$ .

— Vincent Warmerdam
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