Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Normalverteilung mit unendlicher Varianz einen Wert hat, der über ihrem Mittelwert liegt?

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Ich habe heute im Interview etwas Ähnliches gefragt.

Der Interviewer wollte wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine At-the-Money-Option im Geld landet, wenn die Volatilität gegen unendlich tendiert.

Ich sagte 0%, weil die Normalverteilungen, die dem Black-Scholes-Modell und der Random-Walk-Hypothese zugrunde liegen, eine unendliche Varianz haben werden. Und so habe ich angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit für alle Werte Null ist.

Mein Interviewer sagte, die richtige Antwort sei 50%, da die Normalverteilung immer noch symmetrisch und nahezu gleichmäßig ist. Wenn Sie also von mittel bis unendlich integrieren, erhalten Sie 50%.

Ich bin immer noch nicht von seiner Argumentation überzeugt.

Wer hat Recht?

normal-distribution variance

— louzer
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Tatsächlich gibt es eine (schwache) Grenze für Normalverteilungen, wenn die Varianz gegen unendlich steigt. Es handelt sich um ein verbotenes infinitesimales 1 / Aleph (0). Sie können meinen Artikel über Infinitesimale in Research Gate oder in Academia lesen. Tippe "H. Tomasz Grzybowski" in Google ein, gehe zur Seite "Research Gate" mit meinen Artikeln, klicke auf "Contributions" und finde sie.

— H. Tomasz Grzybowski

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Willkommen auf unserer Website, @ H.TomaszGrzybowski. Ich habe Ihren Beitrag in einen Kommentar umgewandelt, weil ich wusste, dass Sie noch nicht den Ruf erworben haben, einen Kommentar zu verfassen, aber er beantwortet die Frage nicht wirklich und kann daher nicht als Antwort bleiben. Es wäre interessant, eine Lösung für dieses Problem zu lesen, die auf Ihrer Vorstellung von Infinitesimalen und einer schwachen Grenze basiert. Sie kommen Sie noch auf dem Wert von

oder finden Sie den Wert nicht definiert ist?

1 / 2

$1/2$

— Whuber

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Weder ist die Form des Denkens mathematisch streng - es gibt keine Normalverteilung mit unendlicher Varianz, noch gibt es eine begrenzende Verteilung, wenn die Varianz groß wird - seien wir also etwas vorsichtig.

Im Black-Scholes-Modell wird davon ausgegangen, dass der logarithmische Preis des Basiswerts zufällig ermittelt wird. Das Problem entspricht der Frage "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der (Protokoll-) Wert des Assets am Ablaufdatum seinen aktuellen (Protokoll-) Wert überschreitet?" Das Erhöhen der Volatilität ohne Limit entspricht dem Erhöhen des Verfallsdatums ohne Limit. Somit sollte die Antwort das gleiche sein wie die Frage „Was ist die Grenze, wie , dass der Wert einer Irrfahrt zum Zeitpunkt größer als sein Wert zum Zeitpunkt ?“ Durch Symmetrie (Austauschen von Aufwärts- und Abwärtssticks) (und unter Hinweis darauf, dass im kontinuierlichen Modell die Chance, am Geld zu sein, ) sind diese Wahrscheinlichkeiten gleich $t \to \infty$ $t$ $0$ $0$ für alle ,wo ihre Grenze existiert tatsächlich undgleich . $1/2$ $t \gt 0$ $1/2$

— whuber
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+1 Kurz gesagt, physikalisches Denken: Zwei mögliche, perfekt symmetrische Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse müssen 1 ergeben - die einzige Antwort kann 1/2 (-;

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Betrachten Sie eine Folge von normalen Zufallsvariablen mit dem Mittelwert und SD . $X_1, X_2,\ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma_n$

Im Wesentlichen fragt Ihr Interviewer nach , vorausgesetzt, wir kennen . $\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$ $\sigma_n\to \infty$

Wir sehen klar ist unabhängig von, die uns die Antwort gibt. $\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$ $\sigma_n$

Anstatt sich eine Normalverteilung mit unendlicher Varianz vorzustellen, sollten Sie sich intuitiv eine Verteilung mit endlicher Varianz vorstellen und mit ihren Grenzen arbeiten.

— Bravo
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Sie sollten Ihre Analyse auf der Grundlage einer Protokollnormalverteilung und nicht einer Normalverteilung durchführen. Ihr Interviewer ist falsch, wenn er angibt, dass die Verteilung symmetrisch ist. Es würde niemals sein, unabhängig von der Varianz. Sie müssen auch zwischen Volatilität und dem, was Sie als unendliche Varianz bezeichnen, unterscheiden. Ein Aktienkurs hat zum Beispiel keine Obergrenze, also eine "unendliche Varianz".

— Ralph Winters
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2

Es ist richtig, dass es sich um eine logarithmische Verteilung handelt, aber es ist nicht erforderlich, sie aufzurufen, wie meine Antwort zeigt. Die zugrunde liegende Normalverteilung ist natürlich symmetrisch. Die Tatsache, dass ein Aktienkurs (oder irgendetwas anderes) keine Obergrenze hat, bedeutet nicht, dass seine Verteilung unendlich unterschiedlich ist. In der Black-Scholes-Theorie ist Volatilität übrigens der Varianzparameter (für die Verteilung der Logarithmen).

— whuber

Wir betrachten die Option, nicht die Aktie.

— Wok

@wok Das stimmt, aber die Theorie hängt von der Verteilung der Asset (Bestand) Preise. Die Verteilung der Optionswerte ist weder normal noch lognormal.

— whuber