Erklärung der Zersetzung von Beverly Nelson

Kann jemand erklären, wie die Beveridge-Nelson-Zerlegung funktioniert? Bisher weiß ich nur, dass es Trendzyklen in nicht stationären Zeitreihendaten schätzt.

Ich habe mir mehrere Zeitschriftenartikel angesehen und bin immer noch verwirrt darüber, wie es funktioniert. Http://research.economics.unsw.edu.au/jmorley/bn.pdf

$ARIMA(p,1,q)$

$$y_t=y_{t-1}+u_{t},$$

$u_t$$ARMA(p,q)$

$$y_t=\tau_t+\xi_t,$$

$\tau_t$$\tau_t=\tau_{t-1}+\varepsilon_t$$\varepsilon_t$$\xi_t$

$u_t=\sum_{j=0}^\infty \psi_{j}\varepsilon_{t-j}$$\varepsilon_t$$\sum j|\psi_j|<\infty$

$$u_1+...+u_t=\psi(1)(\varepsilon_1+...+\varepsilon_t)+\eta_t-\eta_0,$$

wo

$$\psi(1)=\sum_{j=0}^\infty\psi_j,\quad \eta_t=\sum_{j=0}^\infty\alpha_j\varepsilon_{t-j},\quad \alpha_j=-(\psi_{j+1}+\psi_{j+2}+...), \quad \sum|\alpha_j|<\infty.$$

Diese Zerlegung hat zum Beispiel eine gute Anwendung

$$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^Tu_{t}=\frac{1}{\sqrt{T}}\psi(1)\sum_{t=1}^T\varepsilon_t+\frac{1}{\sqrt{T}}(\eta_t-\eta_0)\to N(0,[\psi(1)\sigma]^2),$$

wo wir den zentralen Grenzwertsatz für den ersten Term anwenden und beobachten, dass der zweite Term aufgrund der Stationarität auf Null geht (Mittelwert ist Null und Varianz des Terms geht aufgrund von T im Nenner auf Null).

Wir erhalten also, dass das einschränkende Verhalten des ARIMA-Prozesses (p, 1, q) einfach das gleiche ist wie bei einem ARIMA-Prozess (0,1,0). Diese Tatsache wird in der Zeitreihenliteratur häufig verwendet. Zum Beispiel basiert der Einheitswurzeltest von Phillips und Perron darauf.