Weibull-Verteilung v / s Gamma-Verteilung

Was ist der Unterschied zwischen der Intuition hinter Gamma- und Weibull-Verteilungen? Gibt es eine Beziehung zwischen den beiden Dichten?

Freundlich helfen.

gamma-distribution weibull

— Vani
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Sowohl die Gamma- als auch die Weibull-Verteilung können als Verallgemeinerungen der Exponentialverteilung angesehen werden. Betrachten wir die Exponentialverteilung als Beschreibung der Wartezeit eines Poisson-Prozesses (die Zeit, die wir warten müssen, bis ein Ereignis eintritt, wenn dieses Ereignis in einem beliebigen Zeitintervall mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintritt), dann ist Verteilung beschreibt die Zeit, die wir warten müssen, bis unabhängige Ereignisse eintreten. $\Gamma(k, \theta)$ $k$

Andererseits beschreibt die Weibull-Verteilung effektiv die Zeit, die wir auf das Auftreten eines Ereignisses warten müssen, wenn dieses Ereignis mit der Zeit mehr oder weniger wahrscheinlich wird. Hier beschreibt der Parameter , wie schnell die Wahrscheinlichkeit ansteigt (proportional zu ). $k$ $t^{k-1}$

Wir können den Unterschied in der Wirkung sehen, indem wir uns die PDFs der beiden Distributionen ansehen. Ignoriere alle Normalisierungskonstanten:

f_{Γ} (x) \propto x^{k - 1} \exp (- \frac{x}{θ}) f_{W} (x) \propto x^{k - 1} \exp (- {(\frac{x}{λ})}^{k})

$f_{\Gamma}(x) \propto x^{k-1} \exp\left(-\frac{x}{\theta}\right) \\ f_{W}(x) \propto x^{k-1} \exp\left(-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\right)$

Wie Sie daraus ersehen können, fällt das PDF für die Weibull-Verteilung viel schneller (für ) oder langsamer (für ) ab als die Gamma-Verteilung. Für den Fall, dass , reduzieren sich beide auf die Exponentialverteilung. $k > 1$ $k < 1$ $k = 1$

— Martin O'Leary
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Das ist sehr hilfreich! Natürlich werden beide Verteilungen oft für andere Variablen als die Wartezeit verwendet, so dass die Herleitung und die Motivation sehr unterschiedlich sein können. In einem anderen Sinne verdienen Weibull und Poisson ihre Anfangsbuchstaben, weil sie nach Menschen benannt sind, aber viele (ich würde es am meisten wagen) Diskussionen über Exponential- und Gamma-Werte verwenden keine Anfangsbuchstaben.

— Nick Cox

Die Großschreibung wurde korrigiert - Ich war müde, als ich die Antwort schrieb, und das OP hatte Gamma großgeschrieben, also lief ich damit. Sie haben natürlich Recht, dass nicht jede Verwendung dieser Distributionen eine Wartezeit darstellt, aber ich denke, dies liefert die beste Intuition. Wenn es eine andere gute Art gibt, darüber nachzudenken, würde ich es gerne hören.

— Martin O'Leary

Ich habe keine bessere allgemeine Geschichte! Die Groß- und Kleinschreibung (zB Gamma / Gamma) ist selbstverständlich, wenn Nachnamen nicht berücksichtigt werden.

— Nick Cox