Dies ist eine sehr grundlegende Frage. Warum verwenden wir eine Chi-Quadrat-Verteilung? Was bedeutet diese Verteilung? Warum wird mit dieser Verteilung ein Konfidenzintervall für die Varianz erstellt?

An jedem Ort, an dem ich nach einer Erklärung suche, wird dies nur als eine Tatsache dargestellt, in der erklärt wird, wann Chi verwendet wird, aber nicht, warum Chi verwendet wird und warum es so aussieht, wie es aussieht.

Vielen Dank an alle, die mich in die richtige Richtung lenken können und das ist - wirklich zu verstehen, warum ich Chi verwende, wenn ich ein Konfidenzintervall für die Varianz erstelle.

variance chi-squared

— nafrtiti
quelle

Sie verwenden es, weil - wenn die Daten normal sind -

Q = (n - 1) \frac{s^{2}}{σ^{2}} \sim χ_{n - 1}^{2}

$Q = (n-1)\frac{s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}$ . (Dies macht

Q

$Q$ einer zentralen Größe)

— Glen_b

Siehe auch stats.stackexchange.com/questions/15711/… und seine Links.

— Nick Cox

Für diejenigen, die sich für die Anwendung von oder die weitere Erforschung von

interessieren

χ^{2}

$\chi^2$ , sollten Sie auf die Unterscheidung zwischen einer

χ^{2}

$\chi^2$ ("Chi-Quadrat") - und einer

χ

$\chi$ ("Chi") - Verteilung achten (es ist die Quadratwurzel von a

χ^{2}

$\chi^2$ , nicht überraschend).

— Whuber

Schnelle Antwort

Der Grund ist , weil unter der Annahme , die Daten sind IId und , und Definieren $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$ Bei der Bildung von Konfidenzintervallen ist die mit der Stichprobenvarianz verbundene Stichprobenverteilung (, denken Sie daran, eine Zufallsvariable!) Eine Chi-Quadrat-Verteilung (

\begin{array}{rcl} \bar{X} & = & \sum^{N} \frac{X_{i}}{N} \\ S^{2} & = & \sum^{N} \frac{(\bar{X} - X_{i})^{2}}{N - 1} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \bar{X}&=&\sum^N \frac{X_i}{N}\\ S^2 &=& \sum^{N} \frac{(\bar{X}-X_i)^2}{N-1} \end{eqnarray*}$

S^{2}

$S^2$

), ebenso wie die dem Stichprobenmittelwert zugeordnete Stichprobenverteilung eine Standardnormalverteilung ist (

S^{2} (N - 1) / σ^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}$

), wenn Sie die Varianz kennen, und mit einem t-Schüler, wenn Sie keine Varianz kennen (

(\bar{X} - μ) \sqrt{n} / σ \sim Z (0, 1)

$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/\sigma \sim Z(0,1)$

(\bar{X} - μ) \sqrt{n} / S \sim T_{n - 1}

$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/S \sim T_{n-1}$

Lange Antwort

Zunächst werden wir beweisen, dass einer Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgradenfolgt. Danach werden wir sehen, wie dieser Beweis nützlich ist, um die Konfidenzintervalle für die Varianz abzuleiten, und wie die Chi-Quadrat-Verteilung erscheint (und warum es so nützlich ist!). Lass uns anfangen. $S^2(N-1)/\sigma^2$ $N-1$

Der Beweis

Vielleicht müssen Sie sich dafür an die Chi-Quadrat-Verteilung in diesem Wikipedia-Artikel gewöhnen . Diese Verteilung hat nur einen Parameter: die Freiheitsgrade und zufällig eine Momenterzeugungsfunktion (MGF), die gegeben ist durch: Wenn wir zeigen können, dass die Verteilung von $\nu$

m_{χ_{ν}^{2}} (t) = (1 - 2 t)^{- ν / 2} .

$\begin{equation*} m_{\chi^2_\nu}(t)=(1-2t)^{-\nu/2}. \end{equation*}$

eine momenterzeugende Funktion wie diese hat, jedoch mit

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$

, dann haben wir gezeigt, dass

einer Chi-Quadrat-Verteilung mit

Freiheitsgradenfolgt. Um dies zu zeigen, beachten Sie zwei Fakten:

ν = N - 1

$\nu=N-1$

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$

N - 1

$N-1$

Wenn wir definieren, ist wobei
$Y = \sum \frac{(X_{i} - \bar{X})^{2}}{σ^{2}} = \sum Z_{i}^{2},$ $\begin{equation*} Y = \sum \frac{(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} = \sum Z_i^2, \end{equation*}$ , dh normale Standardzufallsvariablen, die momenterzeugende Funktion von ist gegeben durch $Z_i\sim N(0,1)$ $Y$ Die MGF vonist gegeben durch $\begin{array}{rcl} m_{Y} (t) & = & E [e^{t Y}] \\ = & E [e^{t Z_{1}^{2}}] \times E [e^{t Z_{2}^{2}}] \times . . . E [e^{t Z_{N}^{2}}] \\ = & m_{Z_{i}^{2}} (t) \times m_{Z_{2}^{2}} (t) \times . . . m_{Z_{N}^{2}} (t) . \end{array}$ $\begin{eqnarray*} m_Y(t) &=& \mathbb{E}[e^{tY}]\\ &=&\mathbb{E}[e^{tZ_1^2}]\times \mathbb{E}[e^{tZ_2^2}]\times ...\mathbb{E}[e^{tZ_N^2}]\\ &=&m_{Z_i^2}(t)\times m_{Z_2^2}(t)\times ...m_{Z_N^2}(t). \end{eqnarray*}$ $Z^2$ wo ich die PDF des Standardnormal, verwendet habe $\begin{array}{rcl} m_{Z^{2}} (t) & = & \int_{- \infty}^{\infty} f (z) \exp (t z^{2}) d z \\ = & (1 - 2 t)^{- 1 / 2}, \end{array}$ $\begin{eqnarray*} m_{Z^2}(t) &=& \int_{-\infty}^{\infty} f(z)\exp(tz^2)dz\\ &=&(1-2t)^{-1/2}, \end{eqnarray*}$ und damit $f(z)=e^{-z^2/2}/\sqrt{2\pi}$ wasimpliziert, dass einer Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgradenfolgt. $m_{Y} (t) = (1 - 2 t)^{- N / 2},$ $\begin{equation*} m_Y(t)=(1-2t)^{-N/2}, \end{equation*}$ $Y$ $N$
Sind und unabhängig und verteilen sich jeweils als Chi-Quadrat-Verteilung, jedoch mit und Freiheitsgraden, so ist $Y_1$ $Y_2$ $\nu_1$ $\nu_2$ $W=Y_1+Y_2$ $\nu_1+\nu_2$ $W$

$N-1$

(N - 1) S^{2} = - n (\bar{X} - μ) + \sum (X_{i} - μ)^{2},

$\begin{equation*} (N-1)S^2 = -n(\bar{X}-\mu)+\sum(X_i-\mu)^2, \end{equation*}$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{(N - 1) S^{2}}{σ^{2}} + \frac{(\bar{X} - μ)^{2}}{σ^{2} / N} = \sum \frac{(X_{i} - μ)^{2}}{σ^{2}} .

$\begin{equation*} \frac{(N-1)S^2}{\sigma^2}+\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2/N}=\sum \frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}. \end{equation*}$

N

$N$ $S^2(N-1)/\sigma^2$ $N-1$

Berechnung des Konfidenzintervalls für die Varianz.

$L_1$ $L_2$

P (L_{1} \leq σ^{2} \leq L_{2}) = 1 - α .

$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(L_1\leq \sigma^2 \leq L_2\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$

S^{2} (N - 1)

$S^2(N-1)$

\frac{L_{1}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{σ^{2}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{L_{2}}{S^{2} (N - 1)} .

$\begin{equation*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)}. \end{equation*}$

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$

N - 1

$N-1$

\begin{array}{rcl} \frac{L_{1}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{σ^{2}}{S^{2} (N - 1)} & \Rightarrow & \frac{S^{2} (N - 1)}{σ^{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}, \\ \frac{σ^{2}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{L_{2}}{S^{2} (N - 1)} & \Rightarrow & \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{σ^{2}}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1},\\ \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2},\\ \end{eqnarray*}$

P (\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{σ^{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}) = 1 - α .

$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(\frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1}\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$

S^{2} (N - 1) / σ^{2} \sim χ^{2} (N - 1)

$S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2(N-1)$

\begin{array}{rcl} \int_{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}}}^{N - 1} p_{χ^{2}} (x) d x & = & (1 - α) / 2, \\ \int_{N - 1}^{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}} p_{χ^{2}} (x) d x & = & (1 - α) / 2 \end{array}

$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}^{N-1}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \ ,\\ \int_{N-1}^{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \, \end{eqnarray*}$

N - 1

$N-1$

N - 1

$N-1$

N - 1

$N-1$

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}}} p_{χ^{2}} (x) d x = α / 2, \\ \int_{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}}^{\infty} p_{χ^{2}} (x) d x = α / 2. \end{array}

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2,\\ \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}^{\infty}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2. \end{eqnarray*}$

χ_{α / 2}^{2} = \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}}

$\chi^2_{\alpha/2}=\frac{S^2(N-1)}{L_2}$

χ_{1 - α / 2}^{2} = \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}

$\chi^2_{1-\alpha/2}= \frac{S^2(N-1)}{L_1}$

χ_{α / 2}^{2}

$\chi^2_{\alpha/2}$

χ_{1 - α / 2}^{2}

$\chi^2_{1-\alpha/2}$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

\begin{array}{rcl} L_{1} & = & \frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{1 - α / 2}^{2}}, \\ L_{2} & = & \frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{α / 2}^{2}} . \end{array}

$\begin{eqnarray*} L_1 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}},\\ L_2 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}. \end{eqnarray*}$

C . I . = (\frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{1 - α / 2}^{2}}, \frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{α / 2}^{2}}) .

$\begin{equation*} C.I.=\left(\frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}}, \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}\right). \end{equation*}$

— Néstor
quelle

Einfach weil

S^{2}

$S^2$

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$

N - 1

$N-1$

Es wäre hilfreich, diese Antwort dahingehend zu ändern, dass die sehr starke, aber nicht angegebene Annahme berücksichtigt wird, dass die Stichprobenvarianz einer Chi-Quadrat-Verteilung folgt, wenn die zugrunde liegenden Daten unabhängig sind und einer Normalverteilung folgen. Anders als bei der Theorie der Verteilung des Stichprobenmittelwerts, bei der die Stichprobenverteilung in der Praxis in vielen Situationen annähernd normal bis hinreichend genau ist , tritt dasselbe asymptotische Verhalten bei der Stichprobenvarianz nicht auf (bis die Stichprobengröße extrem groß wird).

— Whuber

Hoppla. Also, so wahr! Dies kam tatsächlich von einer Problemlösung, die ich einigen Studenten austeilte, wo ich all diese Annahmen auf die Frage stelle. Ich habe die Antwort jetzt bearbeitet.

— Néstor

S^{2}

$S^2$

Nicht

f (z) = e^{- z^{2} / 2}

$f(z) = e^{-z^2/2}$

f (z) = e^{- z^{2}}

$f(z) = e^{-z^2}$

Warum wird das Chi-Quadrat verwendet, wenn ein Konfidenzintervall für die Varianz erstellt wird?

Schnelle Antwort

Lange Antwort

Der Beweis

Berechnung des Konfidenzintervalls für die Varianz.