Varianz des Stichprobenmittelwerts der Bootstrap-Stichprobe

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Sei sind unterschiedliche Beobachtungen (keine Bindungen). Sei bezeichnen eine Bootstrap-Probe (eine Probe aus der empirischen CDF) und lassen $X_{1},...,X_{n}$ $X_{1}^{*},...,X_{n}^{*}$ . Finden Sieund. $\bar{X}_{n}^{*}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*}$ $E(\bar{X}_{n}^{*})$ $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})$

Was ich bis jetzt habe , ist , dass ist jeweils mit Wahrscheinlichkeit $X_{i}^{*}$ $X_{1},...,X_{n}$ also $\frac{1}{n}$ und

E. ({X.}_{ich}^{*}) = \frac{1}{n} E. ({X.}_{1}) + . . . + \frac{1}{n} E. ({X.}_{n}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(X_{i}^{*})=\frac{1}{n}E(X_{1})+...+\frac{1}{n}E(X_{n})=\frac{n\mu}{n}=\mu$

was

ergibt

E. ({X.}_{ich}^{* 2}) = \frac{1}{n} E. ({X.}_{1}^{2}) + . . . + \frac{1}{n} E. ({X.}_{n}^{2}) = \frac{n (μ^{2} + σ^{2})}{n} = μ^{2} + σ^{2},

$E(X_{i}^{*2})=\frac{1}{n}E(X_{1}^{2})+...+\frac{1}{n}E(X_{n}^{2})=\frac{n(\mu^{2}+\sigma^{2})}{n}=\mu^{2}+\sigma^{2}\>,$

V. ein r ({X.}_{ich}^{*}) = E. ({X.}_{ich}^{* 2}) - - (E. ({X.}_{ich}^{*}))^{2} = μ^{2} + σ^{2} - - μ^{2} = σ^{2} .

$\mathrm{Var}(X_{i}^{*})=E(X_{i}^{*2})-(E(X_{i}^{*}))^{2}=\mu^{2}+\sigma^{2}-\mu^{2}=\sigma^{2} \>.$

Dann ist

E. ({\bar{X.}}_{n}^{*}) = E. (\frac{1}{n} \sum_{ich = 1}^{n} {X.}_{ich}^{*}) = \frac{1}{n} \sum_{ich = 1}^{n} E. ({X.}_{ich}^{*}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(\bar{X}_{n}^{*})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{*})=\frac{n\mu}{n}=\mu$

V. ein r ({\bar{X.}}_{n}^{*}) = V. ein r (\frac{1}{n} \sum_{ich = 1}^{n} {X.}_{ich}^{*}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{ich = 1}^{n} V. ein r ({X.}_{ich}^{*})

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\mathrm{Var}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_{i}^{*})$

X_{i}^{*}

$X_{i}^{*}$

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = \frac{n σ^{2}}{n^{2}} = \frac{σ^{2}}{n}

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{n\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}$

$X_{1},\ldots,X_{n}$

V. ein r ({\bar{X.}}_{n}^{*}) = E. (V. ein r ({\bar{X.}}_{n}^{*} | {X.}_{1}, . . ., {X.}_{n})) + V. ein r (E. ({\bar{X.}}_{n}^{*} | {X.}_{1}, \dots, {X.}_{n})) .

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=E(\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},...,X_{n}))+\mathrm{Var}(E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})) \>.$

$E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\bar{X}_{n}$ $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\frac{1}{n^{2}}(\sum X_{i}^{2}-n\bar{X}_{n}^{2})$ $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{(2n-1)\sigma^{2}}{n^{2}}$

Mache ich hier etwas falsch Ich habe das Gefühl, dass ich die bedingte Varianzformel nicht richtig verwende, bin mir aber nicht sicher. Jede Hilfe wäre dankbar.

— rrruss
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Möglicherweise ist Ihr V (E (X | X1..Xn)) nicht korrekt berechnet. Die Antwort sollte dieselbe sein.

Sie haben wahrscheinlich Recht - aber diese Antwort scheint nicht besonders informativ zu sein. Vielleicht könnten Sie darauf hinweisen, welcher Teil nicht korrekt ist?

— whuber

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$\frac{n-1}{n^2}S^2$

— Greg
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Dies mag eine späte Antwort sein, aber was bei Ihrer Berechnung falsch ist, ist Folgendes: Sie haben angenommen, dass Ihr Bootstrap-Beispiel unbedingt iid ist. Dies ist falsch: Abhängig von Ihrer Stichprobe ist die Bootstrap-Stichprobe zwar iid, aber bedingungslos verlieren Sie die Unabhängigkeit (aber Sie haben immer noch identisch verteilte Zufallsvariablen). Dies ist im Wesentlichen Übung 13 in Larry Wasserman Alle nichtparametrischen Statistiken .

— M Turgeon
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