Indexnotation in Erwartungen

Welche genaue Bedeutung hat die tiefgestellte Notation bei bedingten Erwartungen im Rahmen der Maßtheorie? Diese Indizes erscheinen nicht in der Definition der bedingten Erwartung, aber wir können sie zum Beispiel auf dieser Seite von Wikipedia sehen . (Beachten Sie, dass dies nicht immer der Fall war, auf derselben Seite vor einigen Monaten). $\mathbb{E}_X[f(X)]$

Was soll zum Beispiel die Bedeutung von mit und ? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— Emile
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Zweifellos wird sich jemand formellen Definitionen anschließen, informell sind alle Erwartungen Erwartungen über die Verteilung (/ Erwartung in Bezug auf) eine (möglicherweise multivariate) Zufallsvariable, unabhängig davon, ob sie explizit angegeben oder impliziert wurde. In vielen Fällen ist es offensichtlich ( impliziert anstatt ). Zu anderen Zeiten ist es notwendig zu unterscheiden; Betrachten Sie beispielsweise das Gesetz der totalen Varianz: .

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b

@Glen_b Muss im Gesetz der totalen Varianz wirklich spezifiziert werden? Da ist , ist es für einige nicht klar, dass über ?

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— Thomas Ahle

@ThomasAhle Sie haben ganz recht - "notwendig" war ein zu starkes Wort für dieses Beispiel. Streng genommen sollte klar sein, dass es für Leser, die nicht daran arbeiten, oft verwirrend ist. Daher ist es eher üblich als notwendig, explizit darüber zu sprechen. Es gibt einige Ausdrücke mit Erwartungen, bei denen Sie nicht sicher sein können, ohne sie anzugeben, aber das ist nicht wirklich einer von ihnen

— Glen_b

In einem Ausdruck, bei dem mehr als eine Zufallsvariable beteiligt ist, wird durch das Symbol $E$ allein nicht klar, für welche Zufallsvariable der erwartete Wert "genommen" ist. Zum Beispiel

E [h (X, Y.)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (X, y) f_{X} (X) d X

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$ oder

E [h (X, Y.)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (X, y) f_{Y.} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

Weder noch . Wenn viele Zufallsvariablen beteiligt sind und das $E$ Symbol keinen Index enthält , wird der erwartete Wert in Bezug auf ihre gemeinsame Verteilung verwendet:

E [h (X, Y.)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (X, y) f_{X Y.} (X, y) d X d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

Wenn ein Index vorhanden ist ... sagt er uns in einigen Fällen, unter welcher Variablen wir eine Bedingung stellen sollen . Damit

E_{X} [h (X, Y.)] = E [h (X, Y.) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (X, y) f_{h (X, Y.) ∣ X} (h (X, y) ∣ X) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

... In anderen Fällen wird jedoch angegeben, welche Dichte für die "Mittelwertbildung" verwendet werden soll.

E_{X} [h (X, Y.)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (X, y) f_{X} (X) d X

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

Ziemlich verwirrend würde ich sagen, aber wer hat gesagt, dass die wissenschaftliche Notation völlig frei von Mehrdeutigkeit oder Mehrfachverwendung ist? Sie sollten sich ansehen, wie jeder Autor die Verwendung solcher Symbole definiert.

— Alecos Papadopoulos
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Ich habe zwei Fragen. 1) Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Erwartung als eine der ersten beiden Gleichungen interpretieren kann, wenn entweder X oder Y festgelegt wurde. 2) Können Sie ein Beispiel für EQ 4 und EQ 5 geben? Es fällt mir schwer, sie zu interpretieren, und ich denke, konkrete Beispiele würden helfen. Vielen Dank!

— Decke Katze

@ceiling cat 1)

ist korrekt , da im Wesentlichen Sie nicht haben zwei Zufallsvariablen nicht mehr. Ebenso zur Fixierung von

auf

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat 2) -EQ5: Betrachte

ist eine Zufallsvariable (für eine angemessene Unterstützung). Verwenden Sie dann die spezifische Bedeutung für die Kurznotation,

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

wobei

die Dichte von

(was auch immer das ist). Offensichtlich ist

nicht integriert und es bleibt intakt. Aber das Ergebnis, das Sie erhalten, ist nicht eine Zahl (wie in meinem vorherigen Kommentar), sondern eine Zufallsvariable (eine Funktion von

), da

hiernichtfestgelegt, sondern nur nicht integriert ist.

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat In beiden Fällen ist in meinen beiden vorherigen Kommentaren die "Mechanik" der mathematischen Berechnungen dieselbe. Die Endergebnisse haben jedoch unterschiedliche Interpretationen.

— Alecos Papadopoulos

@ceiling Katze 2) -EQ4: die gleiche Zufallsvariable Betrachten

. Sein von

abhängiger Erwartungswert ist (unter Verwendung der anderen Bedeutung für die Kurzschreibweise)

. Beachten Sie, dass hier die

und

nicht direkt im Integranden erscheinen - sie sind im

Symbol "verdichtet" .

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— Alecos Papadopoulos