Ich arbeite seit Jahren mit Fuzzy-Logik (FL) und weiß, dass es Unterschiede zwischen FL und Wahrscheinlichkeit gibt, insbesondere in Bezug auf den Umgang von FL mit Unsicherheit. Ich möchte jedoch fragen, welche weiteren Unterschiede zwischen FL und Wahrscheinlichkeit bestehen.
Mit anderen Worten, wenn ich mich mit Wahrscheinlichkeiten befasse (Informationen zusammenführen, Wissen aggregieren), kann ich dasselbe mit FL tun?
Antworten:
Vielleicht sind Sie sich dessen bereits bewusst, aber Kapitel 3, 7 und 9 von George J. Klir und Bo Yuans Fuzzy-Mengen und Fuzzy-Logik: Theorie und Anwendungen (1995)bieten eingehende Diskussionen über die Unterschiede zwischen der unscharfen und der probabilistischen Version der Unsicherheit sowie über verschiedene andere Arten der Evidenztheorie, der Möglichkeitsverteilungen usw. Sie sind voll von Formeln zur Messung der Unschärfe (Unsicherheiten in Messskalen) und probabilistische Unsicherheit (Varianten von Shannons Entropie usw.) sowie einige für die Aggregation über diese verschiedenen Arten von Unsicherheit. Es gibt auch einige Kapitel zum Aggregieren von Fuzzy-Zahlen, Fuzzy-Gleichungen und Fuzzy-Logik-Anweisungen, die Sie möglicherweise hilfreich finden. Ich habe viele dieser Formeln in Code übersetzt, lerne aber immer noch die Seile, was die Mathematik angeht, also lasse ich Klir und Yuan sprechen. :) Ich konnte vor ein paar Monaten ein gebrauchtes Exemplar für 5 US-Dollar abholen. Klir schrieb auch ein Folgebuch über Unsicherheit um 2004, was ich noch nicht gelesen habe. (Ich entschuldige mich, wenn dieser Thread zu alt ist, um darauf zu antworten - ich lerne immer noch die Forum-Etikette).
Bearbeitet, um hinzuzufügen: Ich bin mir nicht sicher, welche der Unterschiede zwischen unscharfer und probabilistischer Unsicherheit dem OP bereits bekannt waren und über welche er weitere Informationen benötigte oder welche Arten von Aggregationen er meinte, daher werde ich nur eine Liste von einigen bereitstellen Unterschiede, die ich von Klir und Yuan auf den Kopf gestellt habe. Das Wesentliche ist, dass Sie Fuzzy-Zahlen, Kennzahlen usw. auch mit Wahrscheinlichkeiten zusammenführen können - aber es wird schnell sehr komplex, wenn auch immer noch sehr nützlich.
Die Fuzzy-Set-Unsicherheit misst eine völlig andere Größe als die Wahrscheinlichkeit und ihre Unsicherheitsmaße, wie die Hartley-Funktion (für Nichtspezifität) oder die Shannon-Entropie. Unschärfe und probabilistische Unsicherheit beeinflussen sich überhaupt nicht. Es gibt eine ganze Reihe von Maßstäben für die Unschärfe, mit denen die Unsicherheit in den Messgrenzen quantifiziert werden kann (dies ist tangential zu den Messunsicherheiten, die normalerweise bei CrossValidated diskutiert werden, aber nicht identisch sind). Der "Fuzz" wird hauptsächlich in Situationen hinzugefügt, in denen es hilfreich wäre, eine Ordnungsvariable als stetig zu behandeln, von denen keine viel mit Wahrscheinlichkeiten zu tun hat.
Nichtsdestotrotz können Fuzzy-Mengen und Wahrscheinlichkeiten auf vielfältige Weise kombiniert werden - beispielsweise durch Hinzufügen von Fuzzy-Grenzen zu Wahrscheinlichkeitswerten oder durch Bewerten der Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert oder eine logische Aussage in einen Fuzzy-Bereich fällt. Dies führt zu einer riesigen, weitreichenden Taxonomie von Kombinationen (was einer der Gründe ist, warum ich vor meiner ersten Bearbeitung keine Einzelheiten angegeben habe).
Was die Aggregation betrifft, können die Maße der Unschärfe und die entropischen Maße der probabilistischen Unsicherheit manchmal zu Gesamtmaßen der Unsicherheit summiert werden.
Hinzufügen einer weiteren Komplexitätsebene. Fuzzy-Logik, Zahlen und Mengen können aggregiert werden, was sich auf die Höhe der resultierenden Unsicherheit auswirken kann. Klir und Yuan sagen, dass die Mathematik für diese Aufgaben sehr schwierig werden kann, und da Gleichungsübersetzungen (bisher) eine meiner Schwachstellen sind, werde ich nicht weiter darauf eingehen. Ich weiß nur, dass diese Methoden in ihrem Buch vorgestellt werden.
Fuzzy-Logik, Zahlen, Mengen usw. werden häufig so verkettet, wie es Wahrscheinlichkeiten nicht sind, was die Berechnung der Gesamtunsicherheit erschweren kann. Beispielsweise könnte ein Computerprogrammierer, der in einem BDD-System (Behavioral-Driven Development) arbeitet, die Aussage eines Benutzers, dass "ungefähr die Hälfte dieser Objekte schwarz ist", in eine Fuzzy-Aussage (ungefähr) über eine Fuzzy-Zahl (die Hälfte) übersetzen. Das würde bedeuten, zwei verschiedene Fuzzy-Objekte zu kombinieren, um das Maß der Unschärfe für das Ganze abzuleiten.
Sigma-Zählungen sind bei der Aggregation von Fuzzy-Objekten wichtiger als die in der Statistik verwendeten gewöhnlichen Zählungen. Diese sind immer kleiner als die normale "knackige" Anzahl, da die Zugehörigkeitsfunktionen, die Fuzzy-Mengen definieren (die immer auf der Skala von 0 bis 1 liegen), die Teilzugehörigkeit messen, sodass ein Datensatz mit einer Punktzahl von 0,25 nur als ein Viertel von zählt ein Rekord.
All dies führt zu einer wirklich komplexen Menge von Fuzzy-Statistiken, Statistiken über Fuzzy-Mengen, Fuzzy-Aussagen über Fuzzy-Mengen usw. Wenn wir Wahrscheinlichkeiten und Fuzzy-Mengen miteinander kombinieren, müssen wir jetzt überlegen, ob wir eine von mehreren verwenden sollen Zum Beispiel verschiedene Arten von Fuzzy-Varianzen.
Alpha-Schnitte sind ein herausragendes Merkmal der Fuzzy-Set-Mathematik, einschließlich der Formeln zur Berechnung von Unsicherheiten. Sie unterteilen Datensätze basierend auf den Werten der Zugehörigkeitsfunktionen in verschachtelte Gruppen. Ich bin noch nicht auf ein ähnliches Konzept mit Wahrscheinlichkeiten gestoßen, aber denke daran, dass ich immer noch die Seile lerne.
Fuzzy-Mengen können auf nuancierte Weise interpretiert werden, wodurch die in Bereichen wie der Evidenztheorie verwendeten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Glaubensbewertungen erzeugt werden, die das subtile Konzept der Wahrscheinlichkeitsmassenzuweisungen umfassen. Ich vergleiche es mit der Art und Weise, wie bedingte Wahrscheinlichkeiten usw. als Bayes'sche Priors und Posteriors interpretiert werden können. Dies führt zu getrennten Definitionen von Fuzzy, Unspezifität und entropischer Unsicherheit, obwohl die Formeln offensichtlich ähnlich sind. Sie führen auch zu Streit-, Zwietracht- und Konfliktmaßnahmen, die zusätzliche Formen der Unsicherheit darstellen, die mit gewöhnlicher Unspezifität, Unschärfe und Entropie zusammengefasst werden können.
Gängige probabilistische Konzepte wie das Prinzip der maximalen Entropie sind immer noch wirksam, erfordern jedoch manchmal Anpassungen. Ich versuche immer noch, die gewöhnlichen Versionen davon zu beherrschen, daher kann ich nicht mehr sagen, als darauf hinzuweisen, dass ich weiß, dass die Verbesserungen existieren.
Das lange und das kurze daran ist, dass diese beiden unterschiedlichen Arten von Unsicherheit aggregiert werden können, dass dies jedoch schnell zu einer ganzen Taxonomie von Fuzzy-Objekten und darauf basierenden Statistiken führt, die alle die ansonsten einfachen Berechnungen beeinflussen können. Ich habe hier nicht einmal Platz, um das ganze Smorgasbord an Fuzzy-Formeln für Kreuzungen und Gewerkschaften anzusprechen. Dazu gehören T-Normen und T-Konorms, die manchmal in den obigen Unsicherheitsberechnungen verwendet werden. Ich kann keine einfache Antwort geben, aber das liegt nicht nur an Unerfahrenheit - selbst 20 Jahre nachdem Klir und Yuan geschrieben haben, scheinen viele Mathematik- und Anwendungsfälle für Dinge immer noch nicht geklärt zu sein. Zum Beispiel kann ich dort keine klare, allgemeine Anleitung finden, welche T-Conorms und T-Normen in bestimmten Situationen verwendet werden sollen. Dies wirkt sich jedoch auf die Aggregation der Unsicherheiten aus. Ich kann bestimmte Formeln für einige davon nachschlagen, wenn Sie möchten; Ich habe einige von ihnen kürzlich codiert, damit sie noch etwas frisch sind. Auf der anderen Seite bin ich ein Amateur mit rostigen mathematischen Fähigkeiten, daher ist es wahrscheinlich besser, diese Quellen direkt zu konsultieren. Ich hoffe, diese Bearbeitung ist von Nutzen. Wenn Sie weitere Erläuterungen benötigen, lassen Sie es mich wissen.