Erklären von Kalman-Filtern in Zustandsraummodellen

Welche Schritte sind bei der Verwendung von Kalman-Filtern in Zustandsraummodellen erforderlich?

Ich habe einige verschiedene Formulierungen gesehen, bin mir aber über die Details nicht sicher. Zum Beispiel beginnt Cowpertwait mit diesem Satz von Gleichungen:

$$y_{t} = F^{'}_{t}\theta_{t}+v_{t}$$ $$\theta_{t} = G_{t}\theta_{t-1}+w_{t}$$

wobei und , sind unsere unbekannten Schätzungen und sind die beobachteten Werte.$\theta_{0} \sim N(m_{0}, C_{0}), v_{t} \sim N(0,V_{t})$$w_{t} \sim N(0, W_{t})$$\theta_{t}$$y_{t}$

Cowpertwait definiert die beteiligten Verteilungen (vorherige, Wahrscheinlichkeits- bzw. hintere Verteilung):

$$\theta_{t}|D_{t-1} \sim N(a_{t}, R_{t})$$ $$y_{t}|\theta_{t} \sim N(F^{'}_{t}\theta_{t}, V_{t})$$ $$\theta_{t}|D_{t} \sim N(m_{t}, C_{t})$$

mit

$$\begin{eqnarray} a_{t}&= G_{t}m_{t-1}, \qquad R_{t} &= G_{t}C_{t-1}G^{'}_{t} + W_{t} \\ e_{t}&=y_{t}-f_{t}, \qquad m_{t}&=a_{t}+A_{t}e_{t} \\ f_{t}&=F^{'}_{t}a_{t}, \qquad Q_{t}&=F^{'}_{t}R_{t}F_{t}+V_{t} \\ A_{t}&=R_{t}F_{t}Q^{-1}_{t}, \qquad C_{t}&=R_{t}-A_{t}Q_{t}A^{'}_{t} \end{eqnarray}$$

Übrigens bedeutet die Verteilung von bei den beobachteten Werten bis . Eine einfachere Notation ist aber ich werde mich an Cowpertwaits Notation halten.$\theta_{t}|D_{t-1}$$\theta_{t}$$y$$t-1$$\theta_{t|t-1}$

Der Autor beschreibt die Vorhersage für in Bezug auf die Erwartungen:$y_{t+1}|D_{t}$

$$E[y_{t+1}|D_{t}] = E[F^{'}_{t+1}\theta_{t+1} + v_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}E[\theta_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}a_{t+1} = f_{t+1}$$

Soweit ich weiß, sind dies die Schritte. Bitte lassen Sie mich wissen, wenn ein Fehler oder eine Ungenauigkeit vorliegt:

1. Wir beginnen mit , , wir schätzen einen Wert für unsere Schätzungen .$m_{0}$$C_{0}$$\theta_{0}$
2. Wir sagen einen Wert für voraus . Das sollte gleich was . ist bekannt, da .$y_{1}|D_{0}$$f_{1}$$F^{'}_{1}a_{1}$$a_{1}$$a_{1} = G_{1}m_{0}$
3. Sobald wir unsere Vorhersage für , berechnen wir den Fehler .$y_{1}|D_{0}$$e_{1} = y_{1} - f_{1}$
4. Der Fehler wird verwendet, um die hintere Verteilung zu berechnen , die und erfordert . wird als gewichtete Summe des vorherigen Mittelwerts und des Fehlers angegeben: .$e_{1}$$\theta_{1}|D_{1}$$m_{1}$$C_{1}$$m1$$a_{1} + A_{1}e_{1}$
5. In der folgenden Iteration beginnen wir mit der Vorhersage von wie in Schritt 1. In diesem Fall ist . Da und die Erwartung von , die wir bereits im vorherigen Schritt berechnet haben, können wir mit der Berechnung des Fehlers fortfahren und der Mittelwert der posterioren Verteilung wie zuvor.$y_{2}|D_{1}$$f_{2} = F^{'}_{2}a_{2}$$a_{2} = G_{2}m_{1}$$m1$$\theta_{1}|D_{1}$$e_{2}$$\theta_{2}|D_{2}$

Ich denke, die Berechnung der posterioren Verteilung ist das, was manche Leute den Aktualisierungsschritt nennen, und die Verwendung der Erwartung von ist der Vorhersageschritt.$\theta_{t}|D_{t}$$y_{t+1}|D_{t}$

Der Kürze halber habe ich die Schritte zur Berechnung der Kovarianzmatrizen weggelassen.

Habe ich etwas vergessen? Kennen Sie einen besseren Weg, dies zu erklären? Ich denke, das ist immer noch etwas chaotisch, also gibt es vielleicht einen klareren Ansatz.

Ich denke, was Sie sagen, ist richtig, und ich denke nicht, dass es chaotisch ist. Eine Art der Formulierung wäre zu sagen, dass der Kalman-Filter ein Fehlerkorrekturalgorithmus ist, der Vorhersagen im Lichte der Diskrepanzen mit aktuellen Beobachtungen modifiziert. Diese Korrektur wird in Schritt 4) unter Verwendung der Verstärkungsmatrix .$A_t$