Wahrscheinlichkeitsformel für eine multivariate Bernoulli-Verteilung

Ich benötige eine Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einer n-variablen Bernoulli-Verteilung mit gegebenen Wahrscheinlichkeiten für ein einzelnes Element und für Paare von Elementen . Entsprechend könnte ich Mittelwert und Kovarianz von angeben .$X\in\{0,1\}^n$$P(X_i=1)=p_i$$P(X_i=1 \wedge X_j=1)=p_{ij}$$X$

Ich habe bereits erfahren, dass es viele Verteilungen mit den Eigenschaften gibt, genauso wie es viele Verteilungen mit einem bestimmten Mittelwert und einer bestimmten Kovarianz gibt. Ich suche eine kanonische für , so wie der Gaußsche eine kanonische Verteilung für und ein gegebener Mittelwert und eine gegebene Kovarianz ist.$\{0,1\}^n$$\{0,1\}^n$$R^n$

Die Zufallsvariable, die Werte in annimmt $\{0,1\}^n$ ist eine diskrete Zufallsvariable. Seine Verteilung wird vollständig durch die Wahrscheinlichkeiten $p_{\mathbf{i}}=P(X=\mathbf{i})$ mit $\mathbf{i}\in\{0,1\}^n$ . Die von Ihnen angegebenen Wahrscheinlichkeiten $p_{i}$ und $p_{ij}$ sind Summen von $p_{\mathbf{i}}$ für bestimmte Indizes $\mathbf{i}$ .

Nun scheint es, dass Sie beschreiben möchten, indem Sie nur p i und p i j verwenden . Es ist nicht möglich, ohne bestimmte Eigenschaften von p i anzunehmen . Um dies zu sehen, versuchen Sie, die charakteristische Funktion von X abzuleiten . Wenn wir n = 3 nehmen , bekommen wir$p_{\mathbf{i}}$$p_i$$p_{ij}$$p_{\mathbf{i}}$$X$$n=3$

Es ist nicht möglich, diesen Ausdruck neu anzuordnen, so dassp

$$\begin{align} Ee^{i(t_1X_1+t_2X_2+t_3X_3)}&=p_{000}+p_{100}e^{it_1}+p_{010}e^{it_2}+p_{001}e^{it_3}\\\\ &+p_{110}e^{i(t_1+t_2)}+p_{101}e^{i(t_1+t_3)}+p_{011}e^{i(t_2+t_3)}+p_{111}e^{i(t_1+t_2+t_3)} \end{align}$$ $p_{\mathbf{i}}$verschwinden. Für die Gaußsche Zufallsvariable hängt die charakteristische Funktion nur vom Mittelwert und den Kovarianzparametern ab. Charakteristische Funktionen definieren Verteilungen eindeutig, weshalb Gaußsch eindeutig beschrieben werden kann, indem nur Mittelwert und Kovarianz verwendet werden. Wie wir für die Zufallsvariable dies nicht der Fall.$X$

 

Siehe folgendes Papier:

JL Teugels, Einige Darstellungen der multivariaten Bernoulli- und Binomialverteilungen , Journal of Multivariate Analysis , vol. 32, nein. 2, Februar 1990, 256–268.

Hier ist die Zusammenfassung:

Multivariate, aber vektorisierte Versionen für Bernoulli- und Binomialverteilungen werden mit dem Konzept des Kronecker-Produkts aus der Matrixrechnung erstellt. Die multivariate Bernoulli-Verteilung beinhaltet ein parametrisiertes Modell, das eine Alternative zum herkömmlichen logarithmischen linearen Modell für binäre Variablen darstellt.

Ich weiß nicht, wie die resultierende Verteilung heißt oder ob sie überhaupt einen Namen hat, aber es scheint mir, dass der offensichtliche Weg, dies einzurichten, darin besteht, sich das Modell vorzustellen, das Sie zum Modellieren einer 2 × 2 × 2 × verwenden würden … × 2-Tabelle unter Verwendung eines log-linearen Modells (Poisson-Regression). Da Sie nur die Interaktionen 1. Ordnung kennen, ist es natürlich anzunehmen, dass alle Interaktionen höherer Ordnung Null sind.

Unter Verwendung der Notation des Fragestellers ergibt sich das Modell:

$$P(X_1=x_1, X_2=x_2,\ldots,X_n=x_n) = \prod_i \left[ p_i^{x_i}(1-p_i)^{1-x_i} \prod_{j<i} \left(\frac{p_{ij}}{p_i p_j}\right)^{x_i x_j} \right]$$