Wann liegt die Binomialverteilungsfunktion über / unter ihrer begrenzenden Poisson-Verteilungsfunktion?

Es sei die Binomialverteilungsfunktion (DF) mit Parametern und die bei ausgewertet werden. : und lassen Sie den Poisson-DF mit dem Parameter , der bei ausgewertet wird : $B(n,p,r)$ $n \in \mathbb N$ $p \in (0,1)$ $r \in \{0,1,\ldots,n\}$

B (n, p, r) = \sum_{ich = 0}^{r} (\binom{n}{ich}) p^{ich} (1 - p)^{n - ich},

$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$

F (ν, r)

$F(\nu,r)$

a \in R^{+}

$a \in \mathbb R^+$

r \in {0, 1, 2, \dots}

$r \in \{0,1,2,\ldots\}$

F (ein, r) = e^{- ein} \sum_{ich = 0}^{r} \frac{{ein}^{ich}}{ich!} .

$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$

Betrachte $p \rightarrow 0$ und lasse $n$ als $\lceil a/p-d \rceil$ , wobei $d$ eine Konstante in der Größenordnung von $1$ . Da $np \rightarrow a$ , konvergiert die Funktion bekanntlich für alle $B(n,p,r)$ gegen . $F(a,r)$ $r$

Mit der obigen Definition für $n$ bin ich daran interessiert, die Werte von $a$ zu bestimmen, für die

B (n, p, r) > F (ein, r) \forall p \in (0, 1),

$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$ und in ähnlicher Weise diejenigen, für die

B (n, p, r) < F (ein, r) \forall p \in (0, 1) .

$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$ Ich konnte nachweisen, dass die erste Ungleichung für

a

$a$ Wert kleiner als

r

$r$ . genauer gesagt für

a

$a$ niedrigeres als ein bestimmtes gebundenes

g (r)

$g(r)$ mit

g (r) < r

$g(r)<r$ . Ebenso gilt die zweite Ungleichung für

a

$a$ ausreichend größer als

r

$r$ , dh für

a

$a$ größer als eine bestimmte Grenze

h (r)

$h(r)$ , mit

h (r) > r

$h(r)>r$ . (Die Ausdrücke der Grenzen

g (r)

$g(r)$ und

h (r)

$h(r)$ sind hier irrelevant. Ich werde die Details für alle Interessierten zur Verfügung stellen.) Jedoch numerische Ergebnisse deuten darauf hin , dass diese Ungleichheiten für weniger strenge Grenzen halten, das heißt, für

a

$a$ näher

r

$r$ als ich beweisen kann.

Ich würde also gerne wissen, ob es einen Satz oder ein Ergebnis gibt, das festlegt, unter welchen Bedingungen jede Ungleichung gilt (für alle $p$ ). das heißt, wenn garantiert ist, dass der binomische DF über / unter seinem begrenzenden Poisson-DF liegt. Wenn ein solcher Satz nicht existiert, wäre jede Idee oder jeder Hinweis in die richtige Richtung wünschenswert.

Bitte beachten Sie, dass eine ähnliche Frage in Bezug auf unvollständigen Beta- und Gamma - Funktionen ausdrückte, wurde veröffentlicht in math.stackexchange.com bekam aber keine Antwort.

— Luis Mendo
quelle

Dies ist eine interessante Frage, obwohl ich denke, dass es hilfreich wäre, einige Dinge zu klären, insbesondere welche die "beweglichen Teile" sind und welche nicht. Es scheint, dass Sie eine Schranke wollen, die für jedes feste in einheitlich gilt . Aber welche Rolle spielt hier? Es sollte nicht viel ausmachen, aber ist eine Einführung notwendig? Ein Ansatz könnte darin bestehen, die Dinge in Bezug auf die Wartezeiten eines Poisson-Prozesses zu betrachten und sie mit den zugehörigen geometrischen Wartezeiten (über die Ermittlung der Obergrenzen) für Ihre binomiale Zufallsvariable zu koppeln. Aber das könnte nicht die Uniform ergeben, die Sie suchen.

p

$p$

r

$r$

d

$d$

— Kardinal

@ cardinal Danke, dass du dir die Zeit genommen hast. Ja, ich möchte, dass die Bindung in p einheitlich ist. Alle anderen Parameter sind fest (aber wählbar). ist nur ein solcher freier Parameter. Ein hypothetisches Ergebnis könnte beispielsweise sein: "Für jedes natürliche größer als und jedes gilt die erste Ungleichung für alle und für alle und die zweite gilt für alle und für alle .

d

$d$

r

$r$

2

$2$

d \in (- 1, 1)

$d \in (-1,1)$

a < r - \sqrt{r}

$a < r - \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

a > r + \sqrt{r}

$a > r + \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— Luis Mendo

Es gibt eine Steinchen-Theorie, die Fehler schätzt, wenn Sie Poisson rv verwenden, um die Summe nicht notwendiger unabhängiger Bernoulli-Variablen zu schätzen. Ich bin mir bei deiner Frage nicht sicher.

— Lost1

Für endliches hat die Binomialverteilung die Unterstützung von oben geschlossen. Seine Größe kann ausgewählt werden (durch Auswahl von ), aber es ist geschlossen. Auf der anderen Seite hat die Poisson-Distribution eine unbegrenzte Unterstützung. Da wir die CDFs betrachten, haben wir für jedes endliche immer für alle zulässigen Werte von . Die Bedingungen für die 2. Ungleichung, die das OP anstrebt, umfassen also immer mindestens "für ..."

n

$n$

n

$n$

n

$n$

B (n, p, r = n) = 1 > F (ein, n)

$B(n,p,r=n) = 1 > F(a,n)$

p, a

$p,a$

r < n

$r<n$

— Alecos Papadopoulos,

Siehe Did's Antwort hier: math.stackexchange.com/questions/37018/…

— Alex R.

In Bezug auf Folgendes:

der Mittelwert einer Binomialdistanz ist $np$
die Varianz ist $np(1-p)$
der Mittelwert einer Poisson-Distanz ist , was wir uns als vorstellen können $\lambda$ $n\times p$
Die Varianz eines Poisson entspricht dem Mittelwert

Wenn nun ein Poisson die Grenze für ein Binom mit den Parametern und , so dass auf unendlich ansteigt und auf null abfällt, während ihr Produkt konstant bleibt, dann wird der Ausdruck angenommen, dass und nicht zu ihren jeweiligen Grenzen konvergieren ist immer größer als , daher ist die Varianz von Binomial geringer als die von Poisson. Das würde bedeuten, dass sich das Binomial unten im Schwanz und oben an anderer Stelle befindet. $n$ $p$ $n$ $p$ $n$ $p$ $np$ $np(1-p)$

— Germaniawerks
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Danke für Ihren Beitrag. Es scheint mir, dass es die Frage nicht beantwortet, weil (1) das OP an der CDF interessiert ist, nicht an der PDF. (2) Er bittet um eine quantitative Antwort.

— Whuber