Erreichbare Korrelationen für exponentielle Zufallsvariablen

Was ist der Bereich erreichbarer Korrelationen für das Paar exponentiell verteilter Zufallsvariablen und , wobei sind die Ratenparameter?$X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$$X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$$\lambda_1, \lambda_2 > 0$

Es sei $\rho_{\min}$ (bzw. $\rho_{\max}$ ) die untere (bzw. obere) Grenze der erreichbaren Korrelation zwischen $X_1$ und $X_2$ . Die Grenzen $\rho_{\min}$ und werden erreicht, wenn und jeweils gegenmonoton und comonoton sind (siehe hier ). X 1 X $\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

Untere Grenze
des unteren gebunden bestimmen wir ein Paar countermonotonic exponentiellen Variablen konstruieren und deren Korrelation berechnen.$\rho_{\min}$

Die hier erwähnte notwendige und ausreichende Bedingung und die Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation bieten eine bequeme Möglichkeit, die Zufallsvariablen X 1 zu konstruieren$X_1$ und , so dass sie countermonotonic sind. Man erinnere sich, dass die Exponentialverteilungsfunktion F ( x ) = 1 - exp ( - λ x ) ist , also ist die Quantilfunktion F - 1 ( q ) = - λ - 1 log ( 1 - $X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$ .$F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

Sei eine gleichmäßig verteilte Zufallsvariable, dann ist auch 1 - U gleichmäßig verteilt und die Zufallsvariablen X 1 = - λ - 1 1 log ( 1 - U ) $U\sim U(0, 1)$$1-U$ haben die Exponentialverteilung mit der Rate λ 1 bzw. λ 2 . Außerdem sind sie gegenmonoton, da X 1 = h 1 ( U ) und X 2 = h 2 ( U ) und die Funktionen h 1 ( x ) = - λ - 1 1 log

$$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$X_1 = h_1(U)$$X_2 = h_2(U)$ und h 2 ( x ) = - λ - 1 1 log ( x ) nehmen jeweils zu und ab.$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

Berechnen wir nun die Korrelation von und X 2 . Durch die Eigenschaften der Exponentialverteilung haben wir E ( X 1 ) = λ - 1 1 , E ( X 2 ) = λ - 1 2 , v a r ( X 1 ) = λ - 2 1 und v a r ( X. 2 ) = λ - $X_1$$X_2$${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$ . Wir haben auch E ( X 1 X 2${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$ wobeifU(u)≡1die Dichtefunktion der Standardgleichverteilung ist. Für die letzte Gleichstellung habe ich mich aufWolframAlpha verlassen.

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$$ $f_U(u) \equiv 1$

Somit ist

$$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$$ Note that the lower bound doesn't depend on the rates $\lambda_1$ and $\lambda_2$, and that the correlation never reaches $-1$, even when both margins are equal (i.e., when $\lambda_1 = \lambda_2$).

Upper bound
To determine of the upper bound $\rho_{\max}$ we follow a similar approach with a pair of comonotonic exponential variables. Now, let $X_1 = g_1(U)$ and $X_2 = g_2(U)$ where $g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$ and $g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$, which are both increasing functions. So, these random variables are comonotonic and both exponentialy distributed with rates $\lambda_1$ and $\lambda_2$.

We have

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$$ and thus, $$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$$ Similarly to the lower bound, the upper bound doesn't depend on the rates $\lambda_1$ and $\lambda_2$.