Wie verallgemeinert das verallgemeinerte lineare Modell das allgemeine lineare Modell?

Aus Wikipedia

Das allgemeine lineare Modell (GLM) ist ein statistisches lineares Modell. Es kann geschrieben werden als 1
$Y = X B + U,$ $\mathbf{Y} = \mathbf{X}\mathbf{B} + \mathbf{U},$ wobei $Y$ eine Matrix mit einer Reihe multivariater Messungen ist, $X$ eine Matrix ist, die eine Entwurfsmatrix sein kann, $B$ eine Matrix ist, die Parameter enthält, die normalerweise geschätzt werden sollen, und $U$ ist eine Matrix, die Fehler oder Rauschen enthält. Es wird normalerweise angenommen, dass die Fehler einer multivariaten Normalverteilung folgen.

Es heißt dann

Wenn die Fehler keiner multivariaten Normalverteilung folgen, können verallgemeinerte lineare Modelle verwendet werden, um Annahmen über $Y$ und zu lockern $U$ .

Ich habe mich gefragt, wie die verallgemeinerten linearen Modelle die Annahmen über $Y$ und $U$ in den allgemeinen linearen Modellen lockern.

Beachten Sie, dass ich ihre andere Beziehung in die entgegengesetzte Richtung verstehen kann:

Das allgemeine lineare Modell kann als ein Fall des verallgemeinerten linearen Modells mit Identitätsverknüpfung angesehen werden.

Aber ich bezweifle, dass dies bei meiner Frage helfen wird.

regression generalized-linear-model assumptions

— Tim
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$1$ $0$

$\hat y_i$ $\mu_i$ $X=x_i$ $\hat\pi_i$ $\bf X$ $\boldsymbol\beta$ liefert vorhergesagte Werte von (dh ), die entweder oder . Aber das ist unmöglich, weil der Bereich von ist . Daher müssen wir den Parameter so transformieren , dass er reichen kann, genau wie es die rechte Seite Ihres GLiM kann. Daher benötigen Sie eine Link-Funktion . $\hat y_i$ $\hat\pi_i$ $<0$ $>1$ $\pi$ $(0,~1)$ $\pi$ $(-\infty,~\infty)$

Zu diesem Zeitpunkt haben wir eine Antwortverteilung (Bernoulli) und eine Verknüpfungsfunktion (möglicherweise die Logit- Transformation) festgelegt. Wir haben bereits einen strukturellen Teil unseres Modells: . Jetzt haben wir alle erforderlichen Teile unseres Modells. Dies ist nun das verallgemeinerte lineare Modell, da wir die Annahmen über unsere Antwortvariable und die Fehler "gelockert" haben. $\bf X \boldsymbol \beta$

Um Ihre spezifischen Fragen direkter zu beantworten, lockert das verallgemeinerte lineare Modell die Annahmen über und indem es eine Antwortverteilung (in der Exponentialfamilie ) und eine Verknüpfungsfunktion setzt, die den fraglichen Parameter dem Intervall . $\bf Y$ $\bf U$ $(-\infty,~\infty)$

Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie in meiner Antwort auf diese Frage: Unterschied zwischen Logit- und Probit-Modellen .

— gung - Monica wieder einsetzen
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(+1) Kurze und verständliche Antwort.

— COOLSerdash

Danke, Gung! In allgemeinen linearen Modellen "wird normalerweise angenommen, dass die Fehler einer multivariaten Normalverteilung folgen." Ist es richtig, dass allgemeine lineare Modelle nicht unbedingt parametrisch sind, da sie die Form der Verteilung von Y bei X nicht vollständig spezifizieren? Da ein verallgemeinertes lineares Modell immer die Verteilung von Y bei gegebenem X als exponentielle Familienverteilung spezifiziert, ist es richtig, dass ein allgemeines lineares Modell möglicherweise kein verallgemeinertes lineares Modell ist?

— Tim

Nein, das allgemeine lineare Modell ist vollständig spezifiziert. Es ist immer ein Sonderfall des verallgemeinerten linearen Modells.

— Gung - Reinstate Monica

Bedeutet "in der Wikipedia wird normalerweise angenommen, dass die Fehler einer multivariaten Normalverteilung folgen" für das allgemeine lineare Modell, dass der Fehler möglicherweise nicht normal verteilt ist?

— Tim