Unterschied zwischen multivariater Standardnormalverteilung und Gaußscher Kopula

Ich frage mich, was der Unterschied zwischen der multivariaten Standardnormalverteilung und der Gaußschen Copula ist, denn wenn ich die Dichtefunktion betrachte, scheinen sie mir gleich zu sein.

Mein Problem ist, warum die Gaußsche Copula eingeführt wird oder welchen Nutzen die Gaußsche Copula erzeugt oder was ihre Überlegenheit ist, wenn die Gaußsche Copula nichts anderes als eine multivariate normale Standardfunktion selbst ist.

Welches Konzept steckt hinter der Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation in Copula? Ich meine, wir wissen, dass eine Kopula eine Funktion mit einer einheitlichen Variablen ist. Warum muss es einheitlich sein? Warum nicht die tatsächlichen Daten wie die multivariate Normalverteilung verwenden und die Korrelationsmatrix finden? (Normalerweise zeichnen wir die beiden Anlagenrenditen auf, um ihre Beziehungen zu berücksichtigen. Wenn es sich jedoch um eine Kopula handelt, zeichnen wir stattdessen die Uns-Werte auf, die Wahrscheinlichkeiten sind.)

Eine andere Frage. Ich bezweifle auch, ob die Korrelationsmatrix von MVN nicht-parametrisch oder semiparametrisch sein könnte wie die von Copula (für Copula-Parameter kann Kendall's Tau usw. sein).

Ich wäre sehr dankbar für Ihre Hilfe, da ich neu in diesem Bereich bin. (aber ich habe viele Zeitungen gelesen und dies sind die einzigen Dinge, die ich nicht verstehe)

normal-distribution copula

— user26979
quelle

Wie sehen Sie "die Dichtefunktion"? Möglicherweise verwenden Sie keine Methode, die empfindlich genug ist. Zum Beispiel ist die Dichte mit Sicherheit nicht multivariat normal, wenn die Ränder nicht normal sind! Probieren Sie dies mit einer Gaußschen Kopula mit einer multimodalen Verteilung aus, wie z. B. einer Beta : Das sollte definitiv nicht normal aussehen!

(1 / 2, 1 / 2)

$(1/2,1/2)$

— Whuber

Gleichung (6) ist bivariate Gaußsche Kopula CDF iopscience.iop.org/2041-8205/708/1/L9/fulltext/…, während der erste Abschnitt der Beschreibungsgleichung bivariate normale CDF ist. roguewave.com/portals/0/products/ imsl-numerical-libraries /… und wenn wir sie miteinander vergleichen, ist die funktionale Form sehr ähnlich. Nun, sie sind genau das gleiche für mich.

— user26979

Sie haben Recht: Aus diesem Grund sollten Sie sich nicht auf zufällige Internetverweise verlassen, insbesondere nicht auf solche mit schlecht definierten Begriffen und schlechtem Schriftsatz. Wenden Sie sich an Nelson (eine der Quellen für Ihren ersten Link, der hervorragend lesbar ist).

— Whuber

Wenn Sie die oben genannten Punkte nicht erwähnen, was ist aus Ihrer Sicht der Unterschied?

— user26979

Eine allgemeine Regel zu technischen Veröffentlichungen - insbesondere zu solchen, die im Internet zu finden sind - lautet, dass die Zuverlässigkeit einer statistischen oder mathematischen Definition, die in diesen Veröffentlichungen angeboten wird, umgekehrt zur Anzahl der im Titel der Veröffentlichung genannten nicht-statistischen Themen variiert. Der Seitentitel in der ersten angebotenen Referenz (in einem Kommentar zur Frage) lautet "Von der Finanzierung zur Kosmologie: Die Kopula der großräumigen Struktur". Da sowohl "Finanzen" als auch "Kosmologie" im Vordergrund stehen, können wir ziemlich sicher sein, dass dies keine gute Informationsquelle für Copulas ist!

Wenden wir uns stattdessen einem Standard- und leicht zugänglichen Lehrbuch zu, Roger Nelsens Eine Einführung in Copulas (Second Edition, 2006), mit den Schlüsseldefinitionen.

... Jede Copula ist eine gemeinsame Verteilungsfunktion mit gleichmäßigen Rändern für [das geschlossene Einheitsintervall . $[0,1]]$

[Um p. 23, unten.]

Um einen Einblick in Copulae zu erhalten, wenden Sie sich an den ersten Satz des Buches, Sklar's Theorem :

Lassen eine gemeinsame Verteilungsfunktion mit Rand sein und . Dann existiert eine Kopula so dass für alle in [den erweiterten reellen Zahlen] $H$ $F$ $G$ $C$ $x,y$
$H (x, y) = C (F (x), G (y)) .$ $H(x,y) = C(F(x),G(y)).$

[Angegeben auf den Seiten 18 und 21.]

Obwohl Nelsen es nicht als solches bezeichnet, definiert er die Gaußsche Kopula in einem Beispiel:

... wenn die standardmäßige (univariate) Normalverteilungsfunktion und die standardmäßige bivariate Normalverteilungsfunktion (mit Pearsons Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient ) bezeichnet, dann ... $\Phi$ $N_\rho$ $\rho$
$C (u, v) = \frac{1}{2 π \sqrt{1 - ρ^{2}}} \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (u)} \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (v)} \exp [\frac{- (s^{2} - 2 ρ s t + t^{2})}{2 (1 - ρ^{2})}] d s d t$ $C(u,v) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(u)}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(v)}\exp\left[\frac{-\left(s^2-2\rho s t + t^2\right)}{2\left(1-\rho^2\right)}\right]dsdt$

[auf S. 23, Gleichung 2.3.6]. Aus der Notation geht unmittelbar hervor, dass dieses tatsächlich die gemeinsame Verteilung für wenn bivariates Normal ist. Wir können uns nun umdrehen und eine neue bivariate Verteilung mit beliebigen (kontinuierlichen) Randverteilungen und konstruieren, für die dieses die Kopula ist, indem wir nur diese Vorkommen von durch und ersetzen $C$ $(u,v)$ $(\Phi^{-1}(u), \Phi^{-1}(v))$ $F$ $G$ $C$ $\Phi$ $F$ : Nehmen Siediesesspezielle bei der Charakterisierung der obigen Formeln. $G$ $C$

Also ja, das sieht bemerkenswert wie die Formeln für eine bivariate Normalverteilung, denn es ist bivariate normal für die transformierten Variablen . Da diese Transformationen nichtlinear sind, wenn und nicht bereits (univariate) normale CDFs sind, ist die resultierende Verteilung (in diesen Fällen) nicht bivariate Normalverteilung. $(\Phi^{-1}(F(x)),\Phi^{-1}(G(y)))$ $F$ $G$

Beispiel

$F$ $(4,2)$ $X$ $G$ $(2)$ $Y$ $H$ $F$ $G$ $x$ $y$

Handlung

$0\le x \le 1$ $0 \le y$

Das Fehlen von Symmetrie macht es offensichtlich nicht normal (und ohne normale Ränder), aber es hat trotzdem eine Gaußsche Kopula von der Konstruktion. FWIW es hat eine Formel und es ist hässlich, offensichtlich auch nicht bivariate Normal:

\frac{1}{\sqrt{3}} 2 (20 (1 - x) x^{3}) (e^{- y} y) \exp (w (x, y))

$\frac{1}{\sqrt{3}}2 \left(20 (1-x) x^3\right) \left(e^{-y} y\right) \exp \left(w(x,y)\right)$

$w(x,y)$

{erfc}^{- 1} (2 (Q (2, 0, y))^{2} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2} {erfc}^{- 1} (2 (Q (2, 0, y))) - \frac{{erfc}^{- 1} (2 (I_{x} (4, 2)))}{\sqrt{2}})}^{2}) .

$\text{erfc}^{-1}\left(2 (Q(2,0,y))^2-\frac{2}{3} \left(\sqrt{2} \text{erfc}^{-1}(2 (Q(2,0,y)))-\frac{\text{erfc}^{-1}(2 (I_x(4,2)))}{\sqrt{2}}\right)^2\right).$

$Q$ $I_x$

— whuber
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Vielen Dank für die Bearbeitung, @Cardinal: Es ist mir peinlich, dass ich Nelsens Namen falsch geschrieben habe, vor allem, als ich ihn direkt auf der Vorderseite des Buches angeschaut habe! (Zu meiner Verteidigung hatte ich es zum ersten Mal in der Bibliographie des in Bezug genommenen Papiers des OP bemerkt, wo es auch falsch geschrieben ist: das muss bei mir geblieben sein. :-)

— whuber

Es war so eine Kleinigkeit, dass ich dachte, ich würde einfach weitermachen und die Änderungen vornehmen. Die Schreibweise ist ungewöhnlich (zumindest in Englisch!), Insbesondere im Vergleich zur allgemeineren Variante. :-)

— Kardinal