Voraussetzungen für die Existenz einer Fisher-Informationsmatrix

Verschiedene Lehrbücher führen unterschiedliche Bedingungen für die Existenz einer Fisher-Informationsmatrix an. Im Folgenden sind einige dieser Bedingungen aufgeführt, von denen jede in einigen, aber nicht allen Definitionen der "Fisher-Informationsmatrix" vorkommt.

1. Gibt es eine standardmäßige Mindestmenge an Bedingungen?
2. Welche der folgenden 5 Bedingungen kann beseitigt werden?
3. Wenn eine der Bedingungen beseitigt werden kann, warum wurde sie Ihrer Meinung nach an erster Stelle aufgenommen?
4. Wenn eine der Bedingungen nicht beseitigt werden kann, bedeutet dies, dass die Lehrbücher, in denen dies nicht angegeben wurde, eine fehlerhafte oder zumindest unvollständige Definition enthielten?

1. Zacks, The Theory of Statistical Inference (1971), p. 194.
   Die Matrix ist für alle θ ∈ Θ positiv bestimmt . $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. Schervish, Theory of Statistics (1997, korr. 2nd printing), Definition 2.78, p. 111
   Die Menge ist für alle θ gleich . $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. 
   $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. 
   $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. 
   $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

Im Vergleich dazu finden Sie hier die vollständige Liste der Bedingungen in Lehman & Cassella. Theorie der Punktschätzung (1998). p. 124 :

1. $\Theta$
2. $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$

Und hier ist die vollständige Liste der Bedingungen in Barra, Fundamentales de statistique mathematique (1971). Definition 1, p. 35 :

$\theta\in\Theta$$=0$

$\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

Ich habe nicht Zugang zu allen Referenzen, möchte jedoch auf einige Ihrer Punkte hinweisen:

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$. Diese Gleichstellung ist oft hilfreich, aber nicht unbedingt erforderlich.

• Es ist schwierig, allgemeine Bedingungen für die Existenz der FIM zu schaffen, ohne einige Modelle zu verwerfen, für die die FIM tatsächlich existiert. Beispielsweise ist die Differenzierbarkeitsbedingung keine notwendige Bedingung für die Existenz der FIM. Ein Beispiel hierfür ist das Doppelexponential- oder Laplace-Modell. Das entsprechende FIM ist gut definiert, aber die Dichte ist im Modus nicht doppelt differenzierbar. Einige andere Modelle, die doppelt differenzierbar sind, weisen ein schlechtes FIM auf und erfordern einige zusätzliche Bedingungen (siehe dieses Dokument ).

Es ist möglich, sehr allgemeine und ausreichende Bedingungen zu finden, die jedoch möglicherweise zu streng sind. Die notwendigen Voraussetzungen für die Existenz der FIM wurden nicht vollständig untersucht. Dann ist die Antwort auf Ihre erste Frage möglicherweise nicht einfach.