Verständnis der Wirkung eines kontinuierlichen Zufallsfaktors in einem Modell mit gemischten Effekten

Ich verstehe die Auswirkung eines kategorialen Zufallseffekts auf ein Modell mit gemischten Effekten darin, dass es eine teilweise Zusammenfassung der Beobachtungen nach Ebene des zufälligen Effekts durchführt, wobei effektiv angenommen wird, dass die Beobachtungen selbst nicht unabhängig sind, sondern nur ihre Teilpools. Nach meinem Verständnis überwiegen in einem solchen Modell Beobachtungen, die dasselbe zufällige Effektniveau teilen, sich jedoch in ihrem festen Effektniveau unterscheiden, Beobachtungen, die sich sowohl in ihrem zufälligen Effekt als auch in ihrem festen Effektniveau unterscheiden.

Was bewirkt dann ein kontinuierlicher Zufallsfaktor? Angesichts der Tatsache, dass ein Modell ohne zufälligen Effekt zeigte, dass der feste Effekt eine Effektgröße X hatte. Sollte ich erwarten, dass die Effektgröße kleiner wird, wenn die Beobachtungen in den verschiedenen Ebenen des festen Effekts von den entfernten Enden des Zufallseffektkontinuums stammen ein Modell, das den Zufallsfaktor enthielt, während sich die Effektgröße erhöhen würde, wenn Beobachtungen in verschiedenen festen Faktorstufen ähnliche zufällige Effektwerte hätten?

mixed-model random-effects-model

— Roey Angel
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Können Sie die Formeln und / oder den R / Stata-Code angeben, um Ihr Denken zu veranschaulichen? Sie verwenden eine etwas ungewöhnliche Sprache ... zumindest ungewöhnlich für mich. Ich denke, dass Ihr "kontinuierlicher Zufallsfaktor" das ist, was ich "zufällige Steigung" nennen würde, aber ich wollte zuerst überprüfen.

— StasK

@StasK In R-Begriffen: Wenn der Zufallsfaktor kategorisch ist (Faktor in R), werden die Beobachtungen teilweise gepoolt, dh die Gruppenmittelwerte (Zufallsfaktorstufen) sind gewichtete Mittelwerte des Populationsmittelwerts und die nicht gepoolten Gruppenmittelwerte mit proportionalen Gewichten auf die Stichprobengröße und die Umkehrung der Varianz. Meine Frage ist, was gemacht wird, wenn der Zufallsfaktor stetig ist (numerisch in R-Begriffen). Wie wirkt sich das auf das Modell aus?

— Roey Angel

@RoeyAngel: Wahrscheinlich hat es keinen vernünftigen Einfluss darauf. Speziell für R's lmerzum Beispiel wird ein Modell, bei dem der Zufallseffekt für jeden Datenpunkt einen bestimmten Wert hat, nicht einmal berechnet. Stellen Sie sich das rein konzeptionell vor: Wenn Ihre Matrix quadratisch ist, hat Ihr Vektor, der die Realisierung der Zufallseffekte enthält, die Größe ( : Anzahl der Stichprobenpunkte), und Sie haben somit eine nicht identifizierbare Fehlerstruktur. Bist du sicher, dass du das fragst? Als StasK fällt es mir auch etwas schwer, Ihrer Frage zu folgen.

Z

$Z$

γ

$\gamma$

N

$N$

N

$N$

— usεr11852

@ user11852 hmmm Ich habe es ehrlich gesagt nie selbst mit einem zufälligen Effekt versucht, bei dem jeder Punkt einen eindeutigen Wert hat. Sie sagen also im Grunde, dass ein zufälliger Effekt immer als kategorialer Faktor behandelt wird (dh es gibt keine Parallele dazu, wie kontinuierliche Vars beispielsweise in einer ANCOVA behandelt werden).

— Roey Angel

@RoeyAngle: Ich weiß nicht speziell über ANCOVA Bescheid, aber sicherlich steht das, was ich über Nichtidentifizierbarkeit gesagt habe. Sie können nicht schätzen, wenn der Größe Ihrer Daten entspricht. Es wurde als kategorisch behandelt, da eine Struktur (dh Kategorisierung) der Daten selbst widerspiegelt (z. B. Charge, Gruppe, Ort usw.). Stellen Sie sich das im Kontext hierarchischer Modelle vor (eine Teilmenge gemischter Modelle): Wenn eine Hierarchie auf einer bestimmten Ebene so viele Nachkommen wie Datenpunkte definiert, wäre sie redundant.

γ

$\gamma$

γ

$\gamma$

Z

$Z$

— usεr11852

Ich musste mir genau überlegen, was du fragst. Zuerst dachte ich in Anlehnung an @ user11852, dass Sie wollten, dass jede Beobachtung ihren eigenen einzigartigen Zufallseffekt hat. Dies würde das Modell hoffnungslos unbekannt machen, da es keine denkbare Möglichkeit gibt, zufällige Effektvariationen vom Modellfehler zu unterscheiden.

Ich glaube jedoch, dass im Rahmen Ihrer beabsichtigten Frage alle zufälligen Effekte tatsächlich kontinuierlich und wahrscheinlich normal verteilt sind. Ihre Anspielung auf "kategorial" ist jedoch nicht von der Wand verschwunden, da die Entwurfsmatrix für einen zufälligen Abschnitt (normalerweise als Z bezeichnet) wie eine Entwurfsmatrix für eine kategoriale Variable aussehen würde.

Fügen wir ein wenig Konkretheit hinzu und sagen wir, dass der lineare Prädiktor wobei und sind die festen Effekte und und sind die spezifischen zufälligen Effekte. Ich denke, mit "kontinuierlich" meinen Sie einen zufälligen Effekt wie und nicht . Beachten Sie, dass beide innerhalb eines Subjekts immer noch konstant sind .

(\bar{α} + α_{i}) + (\bar{β} + β_{i}) x_{i j},

$(\bar{\alpha} + \alpha_i) + (\bar{\beta} + \beta_i) x_{ij},$

\bar{α}

$\bar{\alpha}$

\bar{β}

$\bar{\beta}$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{i}

$\beta_i$

i

$i$

β_{i}

$\beta_i$

α_{i}

$\alpha_i$

i

$i$

Lassen Sie uns nun über Ihre vorgeschlagene Situation nachdenken:

Verschiedene Ebenen des festen Effekts kamen von den entfernten Enden des Zufallseffektkontinuums

Wenn wir als festen Effekt betrachten, kann es keine unterschiedlichen Ebenen geben, aber . Nehmen wir an, dass für kleine Werte von die Steigung kleiner ist; ist negativ für Subjekte mit meist kleinen Werten von . Konstruktionsbedingt entsprechen die Extreme von den Extremen in . $\bar{\beta}$ $x_{ij}$ $x_{ij}$ $\beta_i$ $i$ $x_{ij}$ $x_{ij}$ $\beta_i$

Das lässt uns mit dem, was mit vs passiert, ohne den zufälligen Effekt. Meine Gedanken sind, wenn es nur wenige extreme Fälle der obigen Situation gäbe, würde das Hinzufügen eines zufälligen Effekts dazu neigen, die Schätzung von nach oben zu ziehen . Aber ich bin mir nicht ganz sicher. Bei der traditionellen linearen gemischten Modellierung sind die Schätzungen der festen Effekte wirklich nur gewichtete Schätzungen der kleinsten Quadrate. Während diese Gewichte in direktem Zusammenhang mit der Verteilung der zufälligen Effekte stehen, nimmt ihre Auswirkung mit zunehmender Stichprobengröße ab. In einer realistischen Umgebung mit selbst moderaten Stichprobengrößen würde ich nicht erwarten, dass Ihren Schätzungen für feste Effekte etwas zu Extremes passiert, wenn Sie einen zufälligen Effekt hinzufügen. $\beta$

— Ben Ogorek
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