Verzerrung der Maximum-Likelihood-Schätzer für die logistische Regression

Ich möchte einige Fakten zu Maximum Likelihood Estimators (MLEs) für logistische Regressionen verstehen.

Stimmt es, dass die MLE für die logistische Regression im Allgemeinen voreingenommen ist? Ich würde Ja sagen". Ich weiß zum Beispiel, dass die Probendimension mit der asymptotischen Verzerrung von MLEs zusammenhängt.

Kennen Sie elementare Beispiele für dieses Phänomen?
Wenn der MLE voreingenommen ist, ist es wahr, dass die Kovarianzmatrix der MLEs das Inverse des Hessischen der Maximum-Likelihood-Funktion ist?

edit : Ich habe diese Formel ziemlich oft und ohne Beweise getroffen; es scheint mir eine ziemlich willkürliche Wahl zu sein.

— Avitus
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$T$

Pr (Y_{i} = 1 ∣ T_{i} = 1) = Λ (α + β T_{i})

$\Pr(Y_i=1\mid T_i=1) = \Lambda (\alpha + \beta T_i)$

Λ

$\Lambda$

Λ (u) = {[1 + \exp {- u}]}^{- 1}

$\Lambda(u) = \left[1+\exp\{-u\}\right]^{-1}$

\ln (\frac{Pr (Y_{i} = 1 ∣ T_{i} = 1)}{1 - Pr (Y_{i} = 1 ∣ T_{i} = 1)}) = α + β T_{i}

$\ln \left(\frac{\Pr(Y_i=1\mid T_i=1)}{1-\Pr(Y_i=1\mid T_i=1)}\right) = \alpha + \beta T_i$

$n$ $n_1$ $T_i=1$ $n_0$ $T_i=0$ $n_1+n_0=n$

\hat{Pr} (Y = 1 ∣ T = 1) \equiv {\hat{P}}_{1 | 1} = \frac{1}{n_{1}} \sum_{T_{i} = 1} y_{i}

$\hat \Pr(Y=1\mid T=1)\equiv \hat P_{1|1} = \frac 1{n_1}\sum_{T_i=1}y_i$

\hat{Pr} (Y = 1 ∣ T = 0) \equiv {\hat{P}}_{1 | 0} = \frac{1}{n_{0}} \sum_{T_{i} = 0} y_{i}

$\hat \Pr(Y=1\mid T=0)\equiv \hat P_{1|0} = \frac 1{n_0}\sum_{T_i=0}y_i$

Dann bietet dieses sehr grundlegende Modell geschlossene Lösungen für den ML-Schätzer:

\hat{α} = \ln (\frac{{\hat{P}}_{1 | 0}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 0}}), \hat{β} = \ln (\frac{{\hat{P}}_{1 | 1}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 1}}) - \ln (\frac{{\hat{P}}_{1 | 0}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 0}})

$\hat \alpha = \ln\left(\frac{\hat P_{1|0}}{1-\hat P_{1|0}}\right),\qquad \hat \beta = \ln\left(\frac{\hat P_{1|1}}{1-\hat P_{1|1}}\right)-\ln\left(\frac{\hat P_{1|0}}{1-\hat P_{1|0}}\right)$

VORSPANNEN

$\hat P_{1|1}$ $\hat P_{1|0}$

$\lim$

lim_{n \to \infty} E [\hat{α}] = E [\ln (lim_{n \to \infty} \frac{{\hat{P}}_{1 | 0}}{1 - {\hat{P}}_{1 | 0}})] = E [\ln (\frac{P_{1 | 0}}{1 - P_{1 | 0}})] = α

$\lim_{n\rightarrow \infty}E[\hat \alpha] = E\left[\ln\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\hat P_{1|0}}{1-\hat P_{1|0}}\right)\right] = E\left[\ln\left(\frac{P_{1|0}}{1-P_{1|0}}\right)\right] =\alpha$

$\beta$

$\theta_0 = (\alpha, \beta)$

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ_{0}) \to_{d} N (0, - (E [H])^{- 1})

${\sqrt n}(\hat \theta-\theta_0)\rightarrow_d N\left(0, -(E[H])^{-1}\right)$

$H$

Var (\hat{θ}) \approx - \frac{1}{n} (E [H])^{- 1} \approx - \frac{1}{n} {(\frac{1}{n} \hat{H})}^{- 1} = - {\hat{H}}^{- 1}

$\operatorname{Var}(\hat \theta) \approx -\frac 1n(E[H])^{-1}\approx -\frac 1n\left(\frac 1n\hat H\right)^{-1}=-\hat H^{-1}$

— Alecos Papadopoulos
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