Wald-Test für logistische Regression

Nach meinem Verständnis wird der Wald-Test im Rahmen der logistischen Regression verwendet, um festzustellen, ob eine bestimmte Prädiktorvariable signifikant ist oder nicht. Die Nullhypothese, dass der entsprechende Koeffizient Null ist, wird verworfen.$X$

Der Test besteht aus der Division des Wertes des Koeffizienten durch den Standardfehler .$\sigma$

Was mich verwirrt, ist, dass auch als Z-Score bezeichnet wird und angibt, wie wahrscheinlich es ist, dass eine bestimmte Beobachtung aus der Normalverteilung stammt (mit dem Mittelwert Null).$X/\sigma$

Die Schätzungen der Koeffizienten und der Abschnitte in der logistischen Regression (und etwaiger GLM) werden über die Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE) ermittelt. Diese Schätzungen sind mit einem Hut über den Parameter bezeichnet, so etwas wie θ . Unser interessierender Parameter wird mit & thgr ; 0 bezeichnet und dies ist normalerweise 0, da wir testen möchten, ob der Koeffizient von 0 abweicht oder nicht. Aus asymptotischer Theorie der MLE, wir wissen , dass die Differenz zwischen θ und θ 0 ungefähr normalerweise mit einem Mittelwert 0 verteilt wird (Details können in jedem mathematischen Statistik Buch wie Larry Wasserman finden alle Statistiken ). Denken Sie daran, dass Standardfehler nichts anderes sind als$\hat{\theta}$$\theta_{0}$$\hat{\theta}$$\theta_{0}$Standardabweichungen von Statistiken (Sokal und Rohlf schreiben in ihrem Buch Biometry : "Eine Statistik ist eine von vielen berechneten oder geschätzten statistischen Größen", z. B. der Mittelwert, der Median, die Standardabweichung, der Korrelationskoeffizient, der Regressionskoeffizient usw.). Wenn Sie eine Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung durch ihre Standardabweichung dividieren, erhalten Sie die Standardnormalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Die Wald-Statistik ist definiert als (z. B. Wasserman (2006): All of Statistics , S. 153, 214) -215): W = ( β - β 0$\sigma$ oder W2=(β-β0)

$$W=\frac{(\hat{\beta}-\beta_{0})}{\widehat{\operatorname{se}}(\hat{\beta})}\sim \mathcal{N}(0,1)$$ Die zweite Form aus der Tatsache entstehtdass das Quadrat einer Standardnormalverteilung der istχ21-Verteilung mit 1 Freiheitsgrad (die Summe der zwei quadrierten Standardnormalverteilung würde seinχ22-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden usw.). $$W^{2}=\frac{(\hat{\beta}-\beta_{0})^2}{\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\beta})}\sim \chi^{2}_{1}$$ $\chi^{2}_{1}$$\chi^{2}_{2}$

$\beta_{0}=0$

$$W=\frac{\hat{\beta}}{\widehat{\operatorname{se}}(\hat{\beta})}\sim \mathcal{N}(0,1)$$

---

$z$$t$

$z$$t$$z$$p$$t$$z$$\operatorname{Var}[\hat{\beta}|X]=\sigma^2(X'X)^{-1}$$\sigma^2$$X$$\sigma^2$$\hat{\sigma}^{2}=s^2$$\widehat{\operatorname{se}}(\hat{\beta_{j}})=\sqrt{s^2(X'X)_{jj}^{-1}}$$t$$t$

$Y\sim Bin(n, p)$$E(Y)=np$$\operatorname{Var}(Y)=np(1-p)$$\phi$$\phi=1$$\phi<1$$\phi>1$$z$$t$$p$-Werte. In R, schauen Sie sich diese zwei Beispiele:

Logistische Regression

mydata <- read.csv("http://www.ats.ucla.edu/stat/data/binary.csv")

mydata$rank <- factor(mydata$rank)

my.mod <- glm(admit ~ gre + gpa + rank, data = mydata, family = "binomial")

summary(my.mod)

Coefficients:
             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept) -3.989979   1.139951  -3.500 0.000465 ***
gre          0.002264   0.001094   2.070 0.038465 *  
gpa          0.804038   0.331819   2.423 0.015388 *  
rank2       -0.675443   0.316490  -2.134 0.032829 *  
rank3       -1.340204   0.345306  -3.881 0.000104 ***
rank4       -1.551464   0.417832  -3.713 0.000205 ***
   ---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

$z$

---

Normale lineare Regression (OLS)

summary(lm(Fertility~., data=swiss))

Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)      66.91518   10.70604   6.250 1.91e-07 ***
Agriculture      -0.17211    0.07030  -2.448  0.01873 *  
Examination      -0.25801    0.25388  -1.016  0.31546    
Education        -0.87094    0.18303  -4.758 2.43e-05 ***
Catholic          0.10412    0.03526   2.953  0.00519 ** 
Infant.Mortality  1.07705    0.38172   2.822  0.00734 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 7.165 on 41 degrees of freedom

$t$$z$$t$

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