Warum ist die Kontrolle von FDR weniger streng als die Kontrolle von FWER?

Ich habe gelesen, dass die Kontrolle von FDR weniger streng ist als die Kontrolle von FWER, wie in Wikipedia :

FDR-Steuerverfahren üben eine weniger strenge Kontrolle über falsche Entdeckungen aus als FWER-Verfahren (Familywise Error Rate) (wie die Bonferroni-Korrektur). Dies erhöht die Leistung auf Kosten der Erhöhung der Fehlerrate vom Typ I, dh, es wird die Nullhypothese verworfen, dass sie keine Auswirkung hat, wenn sie akzeptiert werden sollte.

Aber ich habe mich gefragt, wie es sich mathematisch als wahr herausstellt.

Gibt es eine Beziehung zwischen FDR und FWER?

hypothesis-testing multiple-comparisons false-discovery-rate

— Tim
quelle

Hast du das Original gelesen? Es ist fast alles, was man sich von einem Statistikpapier erhoffen kann: Eine einzige Grundidee, eine klare und prägnante Geschichte, ein nützliches Beispiel und (kurze!) Genaue Beweise.

— Kardinal

In der Tat ist @ cardinal ganz richtig, dass das Papier so klar ist, wie es nur geht. Für den Fall, dass Sie keinen Zugriff auf die Zeitung haben, finden Sie hier eine leicht ausgearbeitete Version der Behauptung von Benjamini-Hochberg:

Der FDR ist der erwartete Wert des Anteils falscher Ablehnungen an allen Ablehnungen . Nun ist offensichtlich die Summe falscher und korrekter Zurückweisungen; nenne das letztere . $Q_e$ $v$ $r$ $r$ $s$

Zusammenfassend (unter Verwendung von Großbuchstaben für Zufallsvariablen und Kleinbuchstaben für realisierte Werte),

{Q.}_{e} = E (\frac{V}{R}) = E (\frac{V}{V + S}) =: E (Q.) .

$Q_e=E\left(\frac{V}{R}\right)=E\left(\frac{V}{V+S}\right)=:E\left(Q\right).$

Man nimmt wenn . $Q=0$ $R=0$

Nun gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder sind alle Nullen wahr oder nur von ihnen sind wahr. Im ersten Fall kann es keine korrekten Zurückweisungen geben, also ist . Wenn es also Verwerfungen gibt ( ), ist , andernfalls ist . Daher, $m$ $m_0<m$ $r=v$ $r\geq 1$ $q=1$ $q=0$

F D R = E (Q) = 1 \cdot P (Q = 1) + 0 \cdot P (Q = 0) = P (Q = 1) = P (V \geq 1) = F W E R

$\newcommand{\FDR}{\mathrm{FDR}}\newcommand{\FWER}{\mathrm{FWER}}\FDR=E(Q)=1\cdot P(Q=1)+0\cdot P(Q=0)=P(Q=1)=P(V \geq 1)=\FWER$

Also, in diesem Fall, so dass jede Prozedur, die den trivial steuert, auch den steuert und umgekehrt. $\FDR=\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

In dem zweiten Fall, in dem , wenn (also wenn es mindestens eine falsche Zurückweisung gibt), haben wir offensichtlich (dies ist ein Bruchteil mit auch im Nenner), dass . Dies impliziert, dass die Indikatorfunktion, die den Wert 1 annimmt, wenn mindestens eine falsche Zurückweisung , niemals kleiner als , . Nehmen wir nun die Erwartung auf beiden Seiten der Ungleichung, die durch die Monotonie von die Ungleichung intakt lässt. $m_0<m$ $v>0$ $v$ $v/r\leq 1$ $\mathbf 1_{V\geq 1}$ $Q$ $\mathbf 1_{V\geq 1}\geq Q$ $E$

E (1_{V \geq 1}) \geq E (Q) = F D R

$E(\mathbf 1_{V\geq 1})\geq E(Q)=\FDR$

Da der erwartete Wert einer Indikatorfunktion die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses im Indikator ist, haben wir , was wiederum . $E(\mathbf 1_{V\geq 1})=P(V\geq 1)$ $\FWER$

Wenn wir also eine Prozedur haben, die die in dem Sinne steuert, dass , müssen wir diese . $\FWER$ $\FWER\leq \alpha$ $\FDR\leq\alpha$

Umgekehrt kann eine Kontrolle bei einigen mit einer wesentlich größeren . Das Akzeptieren eines erwarteten Nicht-Null-Anteils an falschen Ablehnungen ( ) aus einer potenziell großen Anzahl getesteter Hypothesen kann intuitiv eine sehr hohe Wahrscheinlichkeit für mindestens eine falsche Ablehnung ( ) . $\FDR$ $\alpha$ $\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

Daher muss ein Verfahren weniger streng sein, wenn nur die Steuerung gewünscht wird, was auch für die Stromversorgung von ist. Dies ist die gleiche Idee wie bei jedem grundlegenden Hypothesentest: Wenn Sie bei 5% testen, lehnen Sie häufiger ab (sowohl richtige als auch falsche Nullen) als bei 1%, nur weil Sie einen kleineren kritischen Wert haben. $\FDR$

— Christoph Hanck
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(+1) Gute Ausstellung. Im ersten Fall können wir natürlich auch sagen, dass FWER-Kontrolle FDR-Kontrolle impliziert (was in Frage kommt). Es kann auch erwähnenswert sein, darauf hinzuweisen, dass diese Eigenschaft im Gegensatz zu dem im Originaldokument für die Kontrolle des FDR angegebenen Verfahren keine Verteilungsannahmen (z. B. Unabhängigkeit) für die Teststatistik enthält.

— Kardinal