Verhältnis von Summe von Normal zu Summe von Würfeln von Normal

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Bitte helfen Sie mir, die einschränkende Verteilung (als ) der folgenden zu finden: wo uiv . $n \rightarrow \infty$

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{X_{1}^{3} + X_{2}^{3} + \dots X_{n}^{3}},

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{X_1^3 + X_2^3 + \ldots X_n^3},$

X_{i}

$X_i$

N (0, 1)

$N(0,1)$

distributions normal-distribution asymptotics

— Arunangshu Biswas
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1

Haben Sie versucht, Transformationen von Zufallsvariablen zu betrachten? Man könnte zum Beispiel charakteristische Funktionen, Laplace-Stieltjes-Transformationen usw. ausprobieren.

— Stijn

1

Hinweis: Zähler und Nenner sind asymptotisch bivariat normal. Sie können ihre Momente direkt berechnen: Ihre Mittelwerte sind offensichtlich Null, die Varianz des Zählers ist

, die Varianz des Nenners ist

und die Kovarianz ist

. (Somit ist die Korrelation

n

$n$

15 n

$15n$

3 n

$3n$

.) Die Grenzverteilung zu finden, ausdrücklich jede Mittelwert Null bivariate Normal

in der Form

fürunabhängige Mittelwert Null Normalen

und

undKonstante

, dann beachtendass das Verhältnis

ist eine verschobene skalierte Cauchy-Verteilung.

3 / \sqrt{15} \approx 0.775

$3/\sqrt{15} \approx 0.775$

(U, V)

$(U,V)$

(A, β A + B)

$(A, \beta A + B)$

A

$A$

B

$B$

β

$\beta$

V / U = β + B / A

$V/U = \beta + B/A$

— Whuber

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Wenn die Formulierung wobeiundunabhängig sind, wäre es nur eine klassisches Lehrbuch Übung sein. Sie verwenden die Tatsache, dass

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{Y_{1}^{3} + Y_{2}^{3} + \dots Y_{n}^{3}}

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{Y_1^3 + Y_2^3 + \ldots Y_n^3}$

X_{i} \sim N (0, 1)

$X_i\sim N(0,1)$

Y_{i} \sim N (0, 1)

$Y_i \sim N(0,1)$

und wir können schließen, dass

zur skalierten Cauchy-Verteilung asymptotisch ist.

F_{n} \overset{d}{\to} F, G_{n} \overset{d}{\to} G \Rightarrow \frac{F_{n}}{G_{n}} \overset{d}{\to} \frac{F}{G}

$F_n \stackrel{d}{\to} F,\quad G_n \stackrel{d}{\to}G \Rightarrow \frac{F_n}{G_n} \stackrel{d}{\to} \frac{F}{G}$

U

$U$

Aber in Ihrer Formulierung können wir den Satz aufgrund der Abhängigkeit nicht anwenden. Mein Monte-Carlo legt nahe, dass die Grenzverteilung von nicht entartet ist und kein erstes Moment hat und nicht symmetrisch ist. Mich würde interessieren, ob es eine explizite Lösung für dieses Problem gibt. Ich bin der Meinung, dass die Lösung nur in Bezug auf den Wiener Prozess geschrieben werden kann. $U_n$

[EDIT] Beachten Sie, dass Whubers Hinweis folgt

wobeiindem festgestellt wird, dassund. (Momente normaler Norm,

(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}, \frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}^{3}) \overset{d}{\to} (Z_{1}, Z_{2})

$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i},\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i^3})\stackrel{d}{\to}(Z_1,Z_2)$

(Z_{1}, Z_{2}) \sim N (0, (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 15 \end{matrix}))

$(Z_1,Z_2) \sim N(0,\pmatrix{1 &3 \\3 &15})$

E [X_{1}^{4}] = 3

$E[X_1^4]=3$

E [X_{1}^{6}] = 15

$E[X_1^6]=15$

für gerade

) Dann haben wir durch kontinuierliches Mapping-Theorem

(n - 1)!!

$(n-1)!!$

n

$n$

Festzustellen, dass wir

schreiben können

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{Z_1}{Z_2}$

mit

und unabhängig von

schließen wir, dass

Z_{1} = \frac{1}{5} Z_{2} + \sqrt{\frac{2}{5}} Z_{3}

$Z_1 = \frac{1}{5}Z_2+\sqrt{\frac{2}{5}}Z_3$

Z_{3} \sim N (0, 1)

$Z_3\sim N(0,1)$

Z_{2}

$Z_2$

wo

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{5}} \frac{Z_{3}}{Z_{2}} \equiv \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{75}} Γ

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{5}}\frac{Z_3}{Z_2} \equiv \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{75}}\Gamma$

Γ \sim C a u c h y

$\Gamma \sim Cauchy$

— Julius
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$X_i$ $X_i^3$ $Z$ $1/X$ Ich habe gehört, dass Verhältnisse oder Umkehrungen von Zufallsvariablen oft problematisch sind, wenn man keine Erwartungen hat. Warum das? ). Aber hier gibt es eine Abhängigkeit zwischen Zähler und Nenner, die die Sache kompliziert ... (Hier bedarf es eindeutig weiterer Überlegungen).

$x_i^3$

— kjetil b halvorsen
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