Was ist die Teststatistik in Fisher's genauem Test?

Für eine 2 × 2-Kontingenztabelle verwenden einige der genauen Fisher-Tests die Anzahl in der (1,1) -Zelle in der Tabelle als Teststatistik, und unter der Nullhypothese hat X 1 , 1 eine hypergeometrische Verteilung .$X_{1,1}$$X_{1,1}$

Einige sagten, seine Teststatistik sei Dabei ist μ der Mittelwert der hypergeometrischen Verteilung (oben erwähnt) unter Null. Es wurde auch gesagt, dass p-Werte basierend auf der Tabelle der hypergometrischen Verteilung bestimmt werden. Ich habe mich gefragt, ob es einen Grund gibt, den Mittelwert zu subtrahieren und dann den absoluten Wert anzunehmen. | X 1 , 1 - μ | hat keine hypergeometrische Verteilung unter Null, oder?

(Um unsere Vorstellungen etwas präziser zu machen, nennen wir die 'Teststatistik' die Verteilung des Dings, nach dem wir suchen, um den p-Wert tatsächlich zu berechnen. Dies bedeutet, dass für einen zweiseitigen t-Test unsere Teststatistik wäre $|T|$ statt $T$ )

Was für eine Teststatistik tut ist eine Ordnung auf dem Probenraum induzieren (oder genauer, eine partielle Ordnung), so dass Sie die Extremfälle identifizieren (die , die am besten mit der Alternative).

Im Fall von Fisher's genauem Test gibt es in gewissem Sinne bereits eine Reihenfolge - das sind die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen 2x2-Tabellen selbst. Zufällig entsprechen sie der Reihenfolge auf $X_{1,1}$ in dem Sinne, dass entweder der größte oder der kleinste Wert von $X_{1,1}$ "extrem" sind und sie auch diejenigen mit der geringsten Wahrscheinlichkeit sind. Anstatt die Werte von $X_{1,1}$ zu betrachten, wie Sie es vorschlagen, können Sie einfach von den großen und kleinen Enden aus arbeiten und bei jedem Schritt nur den Wert hinzufügen (den größten oder den kleinsten $X_{1,1}$-Wert nicht bereits vorhanden) hat die geringste Wahrscheinlichkeit, die damit verbunden ist, bis Sie Ihren beobachteten Tisch erreichen; Bei seiner Aufnahme ist die Gesamtwahrscheinlichkeit all dieser extremen Tabellen der p-Wert.

Hier ist ein Beispiel:

> data.frame(x=x,prob=dhyper(x,9,12,10),rank=rank(dhyper(x,9,12,10)))
   x         prob rank
1  0 1.871194e-04    2
2  1 5.613581e-03    4
3  2 5.052223e-02    6
4  3 1.886163e-01    8
5  4 3.300786e-01   10
6  5 2.829245e-01    9
7  6 1.178852e-01    7
8  7 2.245433e-02    5
9  8 1.684074e-03    3
10 9 3.402171e-05    1

Die erste Spalte enthält $X_{1,1}$ Werte, die zweite Spalte enthält die Wahrscheinlichkeiten und die dritte Spalte enthält die induzierte Reihenfolge.

Im speziellen Fall des Fisher-Exact-Tests kann die Wahrscheinlichkeit jeder Tabelle (äquivalent zu jedem $X_{1,1}$ Wert) als tatsächliche Teststatistik betrachtet werden .

$|X_{1,1}-\mu|$$X_{1,1}$

$X_{1,1}$

[Bearbeiten: Einige Programme präsentieren eine Teststatistik für den Fisher-Test. Ich würde annehmen, dass dies eine Berechnung vom Typ -2logL wäre, die asymptotisch mit einem Chi-Quadrat vergleichbar wäre. Einige mögen auch das Odds-Ratio oder sein Log präsentieren, aber das ist nicht ganz gleichwertig.]

$|X_{1,1} - \mu|$$\mu$$|X_{1,1} - \mu|$$X_{1,1}$

$X_{1,1}$$k$$W$$B$$X_{1,1}$$B$$W$$k$

Es hat nicht wirklich einen. Teststatistiken sind eine historische Anomalie - der einzige Grund, warum wir eine Teststatistik haben, besteht darin, einen p-Wert zu erreichen. Der genaue Test von Fisher springt an einer Teststatistik vorbei und geht direkt zu einem p-Wert über.